Andromaque et Bérénice choisissent à tour de rôle la valeur réelle des neuf coefficients du polynôme x¹⁰ + ?x⁹ + ?x⁸ + ?x⁷ + ?x⁶ + ?x⁵ + ?x⁴ + ?x³ + ?x² + ?x + 1  . Andromaque choisit la première l’un quelconque des neuf coefficients puis Bérénice choisit au 2ème tour l’un quelconque des huit coefficients restants puis Andromaque au 3ème tour choisit l’un quelconque des sept coefficients restants, etc…. Andromaque choisit donc la valeur de cinq coefficients et Bérénice seulement quatre.
Andromaque gagne la partie si le polynôme obtenu n’a aucune racine réelle et à l’inverse Bérénice gagne si le polynôme a au moins une racine réelle. L’une et l’autre jouent au mieux pour que la perte de la partie ne devienne pas pour chacune d’elles une tragédie de plus.
Qui gagne ce combat « racinien » ?

Source : d’après olympiades mathématiques en URSS (1976)

 Solution

Daniel Collignon a résolu le problème.
A285-autre solution