Pour chacun des trois exercices ci-après qui sont indépendants les uns des autres, on considère une fonction f définie sur l’ensemble N*  des entiers > 0 et à valeurs dans N* .

Premier exercice
Si a et b sont premiers entre eux, on f(a*b) = f(a)*f(b)
Si p et q sont deux nombres premiers f(p+q) = f(p) + f(q).
Calculer f(2006).

Deuxième exercice
Soit une fonction f définie sur l’ensemble N*  des entiers > 0 et à valeurs dans N*.
Pour tout couple a et b, f(a+b) – f(a) – f(b) prend l’une ou l’autre des valeurs 0 et 1.
Par ailleurs f(2) = 0, f(3) > 0 et f(6666) = 2222
Calculer f(2006)

Troisième exercice
Pour tout a, on a f(a+1) > f(a)
Pour tout couple a et b f(a+f(b)) = f(a) + b +1
Calculer f(2006)

Sources : d’après olympiades nationales et internationales de mathématiques.

 Solution

Daniel Collignon,Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Henri Palmade ont résolu le problème.