Pour varier les plaisirs de la base décimale avec laquelle nous vivons quotidiennement, voici quelques exercices qui nous invitent à opérer sur de nouvelles bases :
A-Mise en train [*]
1) Résoudre l’équation (N)7 = (4321)5 où N est l’inconnue et les indices 7 et 5 situés en bas et à droite désignent les bases dans lesquelles sont respectivement exprimés N et 4321.
2) Si le quart de 144 vaut 31, que vaut le cinquième de 334 ?
3) Si 6*59 =152, que vaut 8*13 ?
B-Bis repetita placent [**]
1) Dans quelle base 11111 est-il un carré ?
2) Trouver la base b ≤26 et les chiffres X et Y≤ 9 tels que (XXXX)b = (YY2)b
3) Trouver la base b ≤26, le chiffre X ≤9 et l’exposant k tel que (XXX)b = (Xk)b
C-Comme dans un miroir [**]
1) Trouver des entiers XYZ et la base b tels que (XYZ)b = (ZYX)10
2) Poursuivre avec (XYZ....W)b = (W...ZYX)10
D – Esope reste ici et se repose (palindrome bien connu) [****]
Trouver la séquence exprimée en base 10 des entiers naturels a1,a2,a3,...,an telle que ai est le plus petit nombre qui s’exprime sous la forme d’un palindrome à la fois en base i+1 et en base i+2.
Exemple : a3 = 9222 est un entier en base 10 qui vaut 2100012 en base 4 et 243342 en base 5 qui sont deux palindromes l’un et l’autre mais ce n’est pas le plus petit entier qui a cette propriété.
Sources : original et On-line Encyclopedia of Integer Sequences.
Solution
Jean Moreau de Saint Martin,
