Diophante se souvient d’un exercice bien curieux sur un polynôme du 3ème degré qu’il avait traité étant jeune collégien. Le professeur avait écrit sur le tableau le polynôme p(x) = x3 + px2 + qx + r dans lequel p, q et r étaient des nombres entiers mais Diophante n’a plus en tête la valeur exacte de ces coefficients . Après avoir précisé que les trois racines étaient des nombres entiers et que la plus grande valait deux fois la plus petite, le professeur avait demandé à toute la classe quelle était cette plus grande racine.
Théophile qui était au premier rang avait immédiatement levé la main et avait proclamé sans trop bien réfléchir: « C’est le nombre a »
Le professeur : « Désolé, a est plus petit que la racine demandée et on peut vérifier que p(a)>0 »
Hippolyte, placé à côté de Théophile, avait enchaîné : « C’est le nombre b »
Le professeur : « Encore désolé, b est plus grand que la racine demandée et on peut vérifier que p(b)>0 »
A moitié endormi au fond de la classe, Diophante avait constaté que les quatre nombres a, b, p(a) et p(b) étaient des nombres premiers et que l’un d’eux était 13.Trois secondes lui avaient suffi pour annoncer : « Les racines du polynôme sont r1,r2 et r3 ».
C’étaient les bonnes réponses….
Quelles Ă©taient ces trois racines r1,r2 et r3 et les trois coefficients p, q et r ?
Solution
