Pour x réel > 0, on définit la fonction f(x) = x + 1/x et pour tout entier naturel k > 1, on calcule f(x^k) = x^k + 1/x^k.

Q₁ Démontrer successivement pour k = 2 puis pour k = 5 puis pour k = 9 et enfin pour k =14 que si f(x^k) et f(x^{k + 1}) sont deux nombres rationnels, alors f(xⁿ) est rationnel pour tout n ≥1.

Q₂ Est-il vrai que pour tout entier k quelconque > 1 fixé à l’avance, si f(x^k) et f(x^{k + 1}) sont deux nombres rationnels, alors f(xⁿ) est rationnel pour tout n ≥1 ?

Q₃ p et q étant deux entiers naturels tels que 0 < p < q – 1, dans quels cas est-il vrai que si f(x^p) et f(x^q) sont deux nombres rationnels, alors pour tout n ≥1, les f(xⁿ) sont aussi des nombres rationnels?

 Solution

Fabien Gigante,Jean Moreau de Saint Martin,Daniel Collignon et Jean Nicot ont résolu le problème.