Montrer qu'un polynôme $P(x)$ n'a pas toutes ses racines réelles :
a) s'il a deux coefficients intermédiaires consécutifs nuls (j'appelle coefficients intermédiaires ceux de degré intermédiaire entre les termes non nuls de plus haut et de plus bas degré, consécutifs ceux de termes de degrés consécutifs).
b) s'il a trois coefficients consécutifs en progression géométrique.
c) s'il a quatre coefficients consécutifs en progression arithmétique.

On rappelle le théorème de Descartes : le nombre des racines réelles positives d'un polynôme est majoré par le nombre de changements de signe dans la suite des coefficients.

Problème paru dans La Jaune et la Rouge  de mars 2011

 Solution