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Plus de 1000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

 

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

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A278. Le polynôme d'Euler Imprimer Envoyer
A2. Algèbre élémentaire
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En 1772, Euler a découvert une propriété curieuse du polynôme P(n) = n2 + n + 41 qui donne des nombres premiers pour les 40 valeurs de n variant de 0 à 39. Montrer qu'il existe 40 valeurs consécutives de n pour lesquelles P(n) n'est jamais égal à un nombre premier.

 

Solution

On vérifie aisément que P(0) = 41, P(1) = 43, P(2) = 47, P(3) = 53, P(4) = 61,..., P(39) = 1601 sont bien tous des nombres premiers.

Soit A = P(0)*P(1)*P(2)*....*P(39). Alors P(n+A) = (n + A)2 + n + A + 41= P(n) + A*(A+2n+1).

Pour n variant de 0 à 39, P(n) divise A et divise P(n) + A*(A+2n+1) c'est à dire P(n+A). Comme P(n+A)>P(n), il en résulte que pour n variant de 0 à 39, P(n+A) qui a un diviseur plus petit que lui est bien un nombre composé.

 


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