A281. La malle à décimales | Les jeux mathématiques de Diophante, plus de 1000 problèmes mathématiques

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Problèmes par thèmes

A. Arithmétique et algèbre

A2. Algèbre élémentaire

A281. La malle à décimales

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A281. La malle à décimales

A2. Algèbre élémentaire

Soit x un nombre réel.

On désigne par la partie entière de x, c'est à dire le plus grand entier inférieur ou égal à x. Si x est > 0, est la partie entière par défaut. Par exemple = 2. Si x est < 0, est l'entier relatif immédiatement inférieur à x. Par exemple = - 4.

On désigne par {x} la partie décimale de x. Elle est définie par la relation {x}= x - . Ainsi {2,856}=0,856 et {-3,2} = -3,2 - (- 4) = 0,8. Il en résulte que .

Ci-après quatre problèmes extraits de la malle à décimales :

Problème n°1

Résoudre le système suivant d'équations à trois inconnues réelles x, y et z :

x + + {z} = 2006

y + + {x} = - 2006

z + + {y} = 1

Problème n°2

Quelle est la plus grande valeur de x qui satisfait l'équation {(x+1)³}= x³?

Problème n°3

Combien y a-t-il de solutions réelles de l'équation {x} + { } = 1 définie pour 1 < x < 2006 ?

Problème n°4

Il est bien connu que l'équation n'a pas de solutions entières x,y et z > 0 pour n > 2 (théorème de Fermat démontré il y a quelques années par Andrew J.Wiles).