Pour chacun des trois exercices ci-après qui sont indépendants les uns des autres, on considère une fonction f définie sur l'ensemble N^* des entiers > 0 et à valeurs dans N^*.

Exercice N°1

Si a et b sont premiers entre eux, on f(a*b) = f(a)*f(b)

Si p et q sont deux nombres premiers f(p+q) = f(p) + f(q).

Calculer f(2006).

Exercice N°2

Soit une fonction f définie sur l'ensemble des entiers > 0 et à valeurs dans N.

Pour tout couple a et b, f(a+b) - f(a) - f(b) prend l'une ou l'autre des valeurs 0 et 1.

Par ailleurs f(2) = 0, f(3) > 0 et f(6666) = 2222

Calculer f(2006)

Exercice N°3

Pour tout a, on a f(a+1) > f(a)

Pour tout couple a et b f(a+f(b)) = f(a) + b +1

Calculer f(2006)

Sources : d'après olympiades nationales et internationales de mathématiques.