P1 : Zig écrit un entier positif sur chaque face d’un cube puis il affecte à chaque sommet du cube, un nombre qui est égal au produit des nombres écrits sur les trois faces passant par ce sommet. La somme des nombres placés sur les sommets est égal à 2010. Trouver la plus petite somme possible des nombres inscrits sur les faces.
P2 : Zig inscrit huit entiers naturels sur les sommets d’un cube tels que pour tout couple de sommets adjacents, les entiers correspondants sont distincts. Sur chacune des douze arêtes, il inscrit le plus grand commun diviseur des nombres inscrits aux extrémités. Enfin il calcule respectivement la somme des nombres inscrits aux sommets et la somme des nombres inscrits sur les arêtes. Il trouve le même résultat. Est-ce possible ?
P3 : Zig inscrit quatre nombres réels > 0 aux sommets d’une pyramide puis il affecte à chaque arête le produit des nombres situés aux extrémités de chacune d’elles et enfin pour chaque face il fait la somme des nombres inscrits sur les trois arêtes qui la bordent. Puce de son côté fait les mêmes opérations sur sa propre pyramide à partir de quatre nombres réels > 0. Les résultats obtenus par Zig sur les quatre faces de sa pyramide coïncident avec ceux de Puce. Les quatre nombres choisis par Zig sont-ils nécessairement identiques à ceux choisis par Puce ?

 Solution