Un polynôme p(x) de la forme p(x) = xⁿ +a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + ...+ a₁x + a₀ avec ses coefficients a_i entiers pour i =0,1,2,...,n-1 et a₀ non nul est dit « merveilleux » s’il s’annule quand x prend respectivement les n valeurs des coefficients a_i. Déterminer tous les polynomes merveilleux.
source: Olympiades bulgares de mathématiques 1999.

Solution

Ce problème a été posé il y a une dizaine d'années aux olympiades bulgares de mathématiques. La briéveté de son énoncé a amené nos lecteurs à plusieurs interprétations.
Selon l'auteur Sava Grozdev, si le polynôme p(x) s'annule pour chacun des coefficients a_i, alors p(x) est de la forme p(x)=(x-a_n-1)(x-a_n-2)...(x - a₁)(x - a₀). Comme le produit des coefficients a_i est égal à (-1)ⁿ, ces mêmes coefficients prennent p fois la valeur 1 et q fois la valeur -1 avec p + q = n >1. D'où p(x) = (x-1)^p*(x+1)^q. On démontre alors qu'il n'est pas possible d'avoir des polynômes de degré >3 et deux polynômes seulement satisfont les hypothèses initiales : x³ + x²- x -1 et x² + x - 2.
Gaston Parrour,Jean Nicot,Philippe Laugerat,Patrick Gordon,Louis Rogliano,Pierre Jullien,Antoine Verroken ont répondu selon cette interprétation.On peut lire également la solution de Sava Grozdev qui est d'accès libre.
De son côté Jean Moreau de Saint Martin a considéré que les racines n’ont pas d’autres valeurs que celles des coefficients mais ne partagent pas nécessairement le même ordre de multiplicité. Il touve ainsi trois polynômes au lieu de deux.
Enfin Pierre Henri Palmade a retenu qu'un coefficient multiple peut être une racine unique et qu'une racine unique peut apparaître plusieurs fois comme coefficient. Les solutions possibles sont alors bien plus nombreuses.