Problème proposé par Jérémy Junay

Le capitaine Haddock souhaite installer des essuie-glace sur les hublots circulaires de son bateau. Chaque essuie-glace est constitué d'une tige qui  pivote autour d'un point fixe P situé sur la circonférence du hublot (voir figure 1) ou à l'extérieur sur l'axe vertical Oy (voir figure 2). La tige PA porte une lame BA dont toute la longueur reste en contact avec le verre plat du hublot. B est confondu avec P si ce point est sur la circonférence du hublot. On désigne par e l'angle balayé par la tige lors d'un passage complet de la lame sur le hublot. Le rayon r du hublot est de 10cm.

 

Le capitaine se tourne vers le professeur Tournesol pour qu'il trouve un point P tel que l'essuie-glace nettoie au moins la moitié du hublot. Après moult calculs, le professeur constate qu'il existe deux positions de P, l'une sur la circonférence du hublot et l'autre à l'extérieur qui donnent un coefficient de nettoyage de 50%  avec le même débattement e. Déterminer  l'angle e et pour chacune des deux positions les longueurs de la tige et de la lame ainsi que la distance PO

Le professeur suggère au capitaine Haddock de choisir parmi ces deux positions celle qui permet d'obtenir le coefficient de nettoyage le plus élevé possible en jouant sur la longueur de la tige. Trouver  la position de P qui est retenue et déterminer le coefficient de nettoyage ainsi que les longueurs de la tige et de la lame.

Question subsidiaire : existe t-il un montage avec lequel les deux tiers du hublot peuvent être nettoyés ?

 Solution

Jean Moreau de Saint Martin, Julien de Prabère, Pierre Henri Palmade, Daniel Collignon, Fabien Gigante, Raphaël Pallaud et Antoine Verroken ont résolu le problème.