Problème proposé par Bernard Vignes
Pour tout entier n positif, on désigne par d(n) le plus grand diviseur de n strictement inférieur à n. Par exemple d(7) = 1, d(12) = 6.
Q1. On considère l’ensemble E des entiers n tels que d(n) + d(n − 1) et d(n) + d(n + 1) sont l’un et l’autre des carrés parfaits. Prouver que tous les éléments de E ont même parité. Déterminer les cinq éléments de E qui sont inférieurs ou égaux à 2026. Peut-on conjecturer que E contient une infinité dénombrable d’éléments ?
Q2. Mêmes questions avec d(n) + d(n − 2) et d(n) + d(n + 2) qui sont l’un et l’autre des carrés parfaits.

 Solution