Problème proposé par Bernard Vignes
Q₁ On considère les triplets (a,b,c) de nombres premiers distincts a  <  b < c.
Prouver qu’il y a un nombre fini de triplets obéissant à l’inégalité ab + bc + ca > abc.
Q₂ On considère les quadruplets (a,b,c,d) de nombres premiers distincts a < b < c < d.
Prouver qu’il y a une infinité dénombrable de quadruplets obéissant à l’inégalité abc + bcd + cda + dab > abcd et que pour chaque valeur de d il y a un nombre fini de valeurs possibles de a,b et c que l’on déterminera.
Déterminer la plus petite fraction rationnelle irréductible r = p/q  telle qu’il existe exactement dix quadruplets (a,b,c,d) obéissant à l’inégalité abc + bcd + cda + dab > rabcd. Déterminer les quadruplets (a,b,c,d) correspondants.

 Solution