| A1795. La saga de Méphisto (5ème épisode) |
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| A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri |
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Soient φ(n) l’indicatrice d'Euler qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n et premiers avec n et σ(n) la fonction sigma qui est la somme des diviseurs positifs de n.
Q1 Pour tout entier k > 1, prouver qu’il existe une suite strictement croissante de k entiers positifs n1 < n2 < n3 < ....< nk telle que la suite correspondante φ(ni) soit strictement décroissante :φ(n1) >φ(n2) > φ(n3) > .......> φ(nk). Q2 Pour tout entier k > 1, prouver qu’il existe une suite strictement croissante de k entiers positifs n1 < n2 < n3 < ....< nk telle que la suite correspondante σ(ni) soit strictement décroissante : σ(n1) > σ(n2) > σ(n3) > ..... σ(nk) ? Q3 Pour k prenant respectivement les valeurs 2,3,4,5 et 6, trouver des suites strictement croissantes d’entiers positifs ni pour i variant de 1 à k telles que les suites correspondantes φ(ni) et σ(ni) soient l’une et l’autre strictement décroissantes. Pour les plus courageux : peut-on affirmer que pour tout k > 1, on sait trouver une suite d’entiers positifs strictement croissante telle que les suites correspondantes φ(ni) et σ(ni) soient l’une et l’autre strictement décroissantes ?
Solution
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