A1781. Collections de nombres premiers |
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri |
Pour tout entier k > 0 fixé à l’avance, on s’intéresse aux collections de nombres premiers (pas nécessairement distincts) qui ont la propriété (Pk) suivante : le produit de leurs termes vaut k fois leur somme.
Q1 Trouver une collection qui contient au moins cinq nombres premiers distincts et possède la propriété Pk avec l’entier k le plus petit possible. Q2 Prouver qu’il existe une seule collection qui a la propriété P10. Q3 Déterminer toutes les collections qui ont la propriété P44. Q4 [avec l’aide éventuelle d’un automate] : Existe-t-il un entier k tel que l’on sait trouver quatre collections différentes de nombres premiers pas nécessairement distincts dont le produit des termes vaut k fois la somme ? Même question avec cinq collections distinctes. SolutionOlivier Pasquier de Franclieu,Jean Moreau de Saint Martin,Bruno Grebille,Thérèse Eveilleau,Claude Felloneau,Yves Archambault,Daniel Collignon,Pierre Henri Palmade,Gaston Parrour,Maxime Cuenot et Nicolas Petroff ont résolu tout ou partie du problème. |