A1899. La saga de Méphisto (3ème épisode) - A1899. La saga de Méphisto (3ème épisode) A....

Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q₁ Démontrer que les deux nombres entiers n et n + 2 sont des nombres premiers jumeaux si et seulement si la somme de leurs σ est égale au double du plus grand d’entre eux et la somme de leurs φ est égale au double du plus petit.
Q₂ Démontrer qu’un entier n est un nombre premier si et seulement si φ(n) divise
n – 1 et n + 1 divise σ(n).
Q₃ Trouver au moins cinq entiers n positifs < 2021 tels que φ(σ(n)) = n
Nota : les trois questions sont indépendantes

Solution