A1746. Rationnel,manque(1) et impair - A1746. Rationnel, manque(1) et impair A. Arithm...

Puce dispose de la suite S des fractions rationnelles de la forme

pour toutes les valeurs entières de k ≥1: 3/3, 7/5,11/7,etc...
Il peut à loisir effectuer tous les produits de ces fractions y compris leurs puissances entières d’ordre ≥ 2.
Démontrer que Puce est en mesure d’obtenir tous les entiers n impairs à partir du produit d’un nombre fini de fractions pas nécessairement distinctes appartenant à S.[**]
Application numérique [****] : Pour tout entier impair n, on désigne par f(n) le nombre minimal de fractions de S qu’il convient de multiplier pour obtenir n.
a) Calculer f(n) pour les huit nombres premiers n = 61, 67,…,97
b) Calculer f(n) pour les entiers impairs de 2011 à 2021 (bornes incluses)

(1) Nota : comme dans le jargon des croupiers, le dénominateur dépasse la moitié du numérateur…

Solution