A1733. Du rififi chez les phi (3ème épisode) Imprimer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri

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La fonction φ (phi) appelée indicatrice d'Euler est la fonction qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n.
Soit un entier m > 0. On désigne par φ-1(m) l’image réciproque de m par l’application φ, c'est-à-dire l’ensemble des entiers positifs n tels que φ(n) = m.
Q1 Déterminer les entiers impairs m tels que φ-1(m) n’est pas vide.
Q2 Prouver que pour tout entier m pair φ-1(m)  contient un nombre fini d’éléments.
Q3 Prouver que si les entiers n et m sont relativement premiers entre eux et φ(n) = m, alors 2n appartient à φ-1(m).
Q4 Déterminer le plus petit entier pair m tel que φ-1(m) est vide.
Q5 Déterminer φ-1(26),  φ-1(44) , φ-1(50) ,φ-1(72) , φ-1(98), φ-1(2020) et plus généralement φ-1(2. 7k) avec k entier > 0.

 Solution



pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfPierre Henri Palmade et pdfDaniel Collignon ont résolu le probème.