A1823. Division à quatre

A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri

Déterminez tous les entiers a,b,c,d avec 1 < a < b < c < d tels que (a − 1)(b − 1)(c − 1)(d − 1) divise abcd − 1. Justifiez votre réponse.

Solution

Jean Moreau de Saint Martin,

Claude Felloneau,

Pierre Henri Palmade,

Daniel Collignon,

Pierre Renfer,

Jacques Guitonneau,

Michel Lafond,

François Tisserand,

Gaston Parrour,

Gwenaël Robert,

Marc Humery,

Bernard Grosjean,

Marie-Christine Piquet,

Jean Nicot,

Claudio Baiocchi,

Patrick Gordon,

Pierre Leteurtre,

Yannick Huet,

Pierre Jullien,

Antoine Verroken ont résolu le problème et obtenu les deux solutions:
a = 2,b = 4,c = 10 et d=80; a = 3, b = 5, c=17 et d = 255.
De son côté

Joël Benoist a traite le problème plus général avec les conditions a ≤ b ≤ c ≤ d, obtenant ainsi cinq solutions supplémentaires.