A1848. Bon souvenir de Minsk |
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri |
Pour tout entier positif n on désigne par τ(n) le nombre de diviseurs de n, y compris 1 et lui- même.
Q₁ Pour chacune des valeurs de k = 2,3,4,5,6,7 existe-t-il ou non un entier n tel que τ(n²) = k.τ(n) ?(**) Q₂ Montrer qu’il existe au moins un entier n tel que τ(n²) = 2015.τ(n) (***) Pour les plus courageux : Déterminer tous les entiers k pour lesquels il existe un entier n tel que τ(n²) = k.τ(n).(****) Source : problème proposé par la Biélorussie à une Olympiade Internationale de Mathématique. SolutionJean Moreau de Saint Martin,Claude Felloneau,Fabien Gigante,Michel Lafond,Claudio Baiocchi,Daniel Collignon,Maurice Bauval,Paul Voyer,Gaston Parrour,Jean Drabbe,Pierre Henri Palmade,Francesco Franzosi,Marie-Christine Piquet,Philippe Laugerat,Patrick Gordon,Pierre Leteurtre,Abdelali Derias,Antoine Verroken ont résolu tout ou partie du problème. |