Problème proposé par Pierre Leteurtre

Il s'agit ici de construire des séquences « CRmin » de nombres entiers à partir des règles suivantes :
1.    la valeur initiale doit être impaire non multiple de 3 et supérieure ou égale à 5
2.    multiplier cette valeur par 2 jusqu'à obtenir un nombre congru à 1 modulo 3 ( compter le nombres de multiplications par 2 )
3.    retrancher 1 et diviser par 3. Si la valeur obtenue est multiple de 3, revenir à l'étape 2 et multiplier par 4 ( et ajouter 2 au nombre de multiplications )
4.    itérer sur l'étape 2
Soient M le nombre cumulé de multiplications par 2  et D le nombre cumulé de divisions par 3.
Un exemple pour illustrer les règles et l'évolution de M et D :


                     
Question 1 : vers quelle limite tend le rapport M / D, quelle que soit la valeur initiale ?
Question 2 : à chaque étape 2, on peut augmenter le nombre de multiplications d'un nombre pair ( sous réserve de sauter les cas où le résultat est multiple de 3 ). On pourrait penser que la séquence ainsi modifiée a ensuite partout des valeurs supérieures à celles de la séquence « CRmin » de même valeur initiale. Montrer que cette idée est fausse et qu'il existe des séquences de longueur quelconque qui offrent un rapport M / D inférieur à celui de la question 1.

 Solution

Pierre Leteurtre a résolu le problème.