On s’intéresse aux entiers naturels qui s’expriment de p  manières différentes comme somme de q carrés positifs. Pour une valeur de q, l’entier est appelé avalent ou monovalent ou polyvalent de type (p,q) selon que p = 0 ou 1 ou  > 1.
Par exemple  9 est avalent de type (0,4) car 9 ne peut pas être représenté par la somme de 4 carrés parfaits tous positifs, 5 est  monovalent de type (1,2) car 5 s’écrit de manière unique 1² + 2² et 65 est bivalent de type (2,2) car 65 = 1² + 8² = 4² + 7².
Q₁ : Démontrer que pour tout entier naturel supérieur à un entier n₀ que l’on précisera  il existe au moins un entier q positif qui le rend polyvalent.
Dans les questions Q₂ à Q₄ on retient la valeur q = 2.
Q₂ : Démontrer que l’entier 2013 est un avalent et déterminer les deux entiers les plus proches de 2013 qui sont respectivement un monovalent de type (1,2) et un polyvalent de type (p,2) avec p >1.
Q₃ : Démontrer qu’on sait trouver au maximum cinq entiers bivalents de type (2,2)  qui sont à la fois  premiers entre eux  et inférieurs à 2013
Q₄ : Trouver le plus petit nombre entier naturel n impair non divisible par 5 et un nombre premier p diviseur de n tels que n est un polyvalent de type (p,2).

 Solution