On s’intéresse aux entiers naturels qui s’expriment de p· manières différentes comme somme de q carrés positifs. Pour une valeur de q, l’entier est appelé avalent ou monovalent ou polyvalent de type (p,q) selon que p = 0 ou 1 ou· > 1.Par exemple 9 est avalent de type (0,4) car 9 ne peut pas se décomposer en la somme de 4 carrés parfaits tous positifs, 5 est· monovalent de type (1,2) car 5 s’écrit de manière unique 1² + 2² et 65 est· bivalent de type (2,2) car 65 = 1² + 8 ² = 4² + 7 ².
Dans cette première partie on retient les valeurs q ? 3
Q₁ : Trouver le plus petit carré parfait qui est bivalent de type (2,2) puis le plus petit carré parfait qui est trivalent de type (3,3). Même question avec des cubes parfaits.
Q₂ : Trouver le plus petit nombre entier naturel qui est à la fois un bivalent de type (2,3) et trivalent de type (3,2) .
Q₃ : Démontrer que l’entier 2012 est avalent de type (0,3) et déterminer en fonction de k = 2,3,... les entiers de la forme 2012k qui sont monovalents ou polyvalents de type (p,3) avec p ? 1.
Q₄ : Démontrer que l’entier 2011 est polyvalent de type (p,3) avec p > 1 et que les entiers égaux à 2011 modulo 8 sont monovalents ou polyvalents de type (p,3) avec p ? 1.
Q₅ : Démontrer que les puissances successives de 2 sont avalentes de type (0,3).
Q_{6 :} Déterminer l’entier le plus proche de 2012 qui est à la fois un monovalent de type· (1,2) et un monovalent de type (1,3).

 Solution