1ère énigme
Avec les quatre opérations élémentaires +, - , * ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... trouver les formules, les plus économiques en nombre de caractères utilisés,qui font intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donnent un résultat égal à 2013,respectivement à partir :
1) des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre.Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3)* 4 - 5*(6 - 7) + 8*9 en utilisant 21 caractères.
2) du plus petit nombre possible de chiffres prélevés dans l'ordre parmi les chiffres de 1 à 9, chacun d'eux étant utilisé une fois et une seule.Par exemple,avec 101 = 2 + (3 + 8)*9, on a utilisé les seuls chiffres 2,3,8 et 9 avec 9 caractères au total.
3) des seuls chiffres qui figurent dans 2013, chacun d'eux étant utilisé autant de fois que nécessaire,
4) d'un seul chiffre choisi dans l'ensemble des chiffres de 1 à 9 et utilisé autant de fois que nécessaire. On retiendra le chiffre qui donne la formule la plus économique.Par exemple, pour obtenir 101 on peut additionner 101 fois le seul chiffre 1 mais cette expression est évidemment très coûteuse avec ses 201 caractères et la formule 101 = 3*3*3*(3 + 3/3) - 3 - 3 - 3/3 écrite avec le chiffre 3 et 21 caractères est plus économique sans être optimale.

2ème énigme
Dans le système décimal, je suis un nombre entier N de 4 chiffres. En base 13, je deviens un nombre uniforme c'est à dire que tous les caractères utilisés pour me représenter sont identiques. Mon écriture en base décimale et réinterprétée en base b < 10 correspond à un carré parfait. Que vaut b?

3ème énigme
Le millésime 2013 et ses deux successeurs 2014 et 2015 ont une propriété commune que ne partagent jamais quatre entiers naturels consécutifs quelconques. Quelle est cette propriété?

4ème énigme
Soient deux suites, l'une constituée de 20 entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à 13 et l'autre de 13 entiers strictement inférieurs ou égaux à 20.Montrer qu'on sait toujours trouver p >0 termes de la première suite et q > 0 termes de la deuxième suite qui ont la même somme.

 Solution