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A. Arithmetique et algèbre -
A1. Pot pourri
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Six nombres premiers obéissent à la charade à tiroirs suivante :
- En ajoutant 152 à mon premier puis au carré de mon premier, j’obtiens deux carrés parfaits,
- En ajoutant 1 à mon second puis au carré de mon second,j’obtiens deux fois le double d’un carré parfait,
- En ajoutant mon second à mon troisième puis au carré de mon troisième,j’obtiens deux fois le double d’un carré parfait,
- En ajoutant mon troisième à mon quatrième puis au carré de mon quatrième,j’obtiens deux carrés parfaits,
- En ajoutant mon quatrième au triple de mon cinquième puis au triple du carré de mon cinquième,j’obtiens deux fois le double d’un carré parfait,
- En ajoutant mon cinquième à mon sixième puis au carré de mon sixième,j’obtiens deux fois le double d’un carré parfait.
Mon tout N est un entier < 1000000 qui est le produit de quatre nombres premiers distincts a,b,c et d dont trois sont choisis parmi les six nombres logés dans la charade, tel que N – 1 est en même temps un multiple de a – 1, de b – 1, de c – 1 et de d – 1. Trouver N.
Solution Jean Moreau de Saint Martin, Pierre Henri Palmade, Antoine Verroken, Nicolas Sigler, François Bulot, Patrick Gordon, Bernard Grosjean, Philippe Laugerat et Alexis Comte ont trouvé les six nombres premiers de la charade, respectivement 17,7,11,5,31 et 19(sachant que pour chacun des tiroirs la solution est unique)ainsi que N = 75361 qui est un nombre de Carmichaël. Emmanuel Vuillemenot a résolu le problème à l'aide d'un programme écrit en Visual Basic et accompagné d'un tableau Excel qui affiche les résultats: charade_arithmetique.xls
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