A1978. Unique en son genre Imprimer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri
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Trouver un entier naturel n inférieur à 2011 divisible par trois entiers distincts dont la conversion dans trois bases entières a,b et c distinctes donne respectivement des nombres uniformes à 3, 4 et 6 chiffres avec deux au moins de ces nombres qui n’utilisent pas le même chiffre. Démontrer que cet entier n est unique.
Nota : un nombre uniforme ou rep-digit est formé par la répétition du même chiffre compris entre 1 et 9.


 Solution


Ce problème devrait s'intituler "Le mal nommé". En effet comme son rédacteur a oublié de préciser que les trois diviseurs distincts de n étaient strictement inférieurs à n, il y a deux solutions:
1) n=1092 avec par exemple trois diviseurs 273,156 et 364 qui s'écrivent respectivement 333,1111 et 111111 en bases 9,5 et 3
2) n = 1365 avec les trois diviseurs 273,455 et 1365 lui-même qui s'écrivent respectivement 333,555 et 111111 en bases 9,9 et 4.
Antoine Vanney,Bernard Grosjean,Gaston Parrour,Patrick Gordon,Pierre Henri Palmade,Philippe Laugerat,Paul Voyer et François Bulot ont résolu le problème.