A1982. Enigmatiques additions - A1982. Enigmatiques additions A. Arithmetique e... | Les jeux mathématiques de Diophante, plus

P1 : Des entiers positifs sont dits « semblables » s’ils sont écrits avec les mêmes chiffres. Par exemple : 112,121,211 écrits avec deux chiffres ‘1’ et un chiffre ‘2’. Trouver le plus petit entier qui a au moins 2011 chiffres et qui est la somme de deux entiers qui lui sont semblables.
P2 : Trouver trois entiers positifs tels que leur addition donne un nombre dont la somme des chiffres dépasse 125 et l’addition de deux quelconques d’entre eux donne un nombre dont la somme des chiffres est toujours plus petite que 10.
P3 : Trouver le plus grand entier dont tous les chiffres sont distincts et qui est la somme de deux entiers écrits l’un et l’autre avec seulement deux chiffres distincts. Par exemple, l’entier 1476 qui a quatre chiffres distincts est la somme de 1121 et de 355 écrits respectivement avec les chiffres (1,2) et (3,5).

Solution

Philippe Laugerat,Michel Lafond,Daniel Collignon et Patrick Gordon ont donné leurs meilleures solutions des trois problèmes.De son côté Jean Moreau de Saint Martin a fait une analyse fouillée du premier problème.

Commentaires:
P1: le plus petit entier est 20.(2007 fois).0961= 10.(2007 fois).0269+10.(2007 foisà.692
P2: les trois entiers sont respectivement:
a = 4 554 554 554 554 554 554 554 555
b = 5 455 455 455 455 455 455 455 455
c = 5 545 545 545 545 545 545 545 545
P3: la réponse optimale est :9 559 959 595 + 4 422 422 = 9 564 382 017l
Cette énigme peut se résoudre manuellement, l'ordinateur servant simplement à contrôler le résultat obtenu.
Il est logique de chercher deux entiers A et B, A > B, dont la somme S donne un entier à 10 chiffres le plus proche possible du plus grand entier dont tous les chiffres distincts : 9876543210.
Dès lors A a dix chiffres et B a au moins six chiffres, sinon quelles que soient les retenues de A + B, les cinq premiers chiffres de A donneraient nécessairement au moins un couple de chiffres identiques dans les cinq premiers chiffres de S.
Par ailleurs si (p,q) et (r,s) sont respectivement les deux couples de chiffres utilisés pour écrire A et B, avec p,q,r,s compris entre 0 et 9, le chiffre r (comme s) additionné à p et à q avec ou sans retenue donne au plus quatre chiffres distincts dans S, soit au plus huit chiffres distincts au total pour le couple (r,s) additionné à (p,q).
Il en découle que B a au plus huit chiffres et que le premier chiffre de A est 9.
- Si B a huit chiffres, les deux premiers chiffres de A sont distincts et fournissent les 10 – 8 = 2 chiffres distincts manquants de S.
- Si B a sept chiffres, les trois premiers chiffres de A avec une retenue de 1 ajoutée à son troisième chiffre donnent les 10 – 7 = 3 chiffres distincts manquants de S.
- Les «bons» couples (9,q) et (r,s) qui donnent huit chiffres distincts dans S sont peu nombreux et s’obtiennent rapidement: (9,5) et (4,2), (9,4) et (3,1). Logiquement p – q > 1 et r – s > 1 et les couples (p,q) = (9,7) ou (9,6) sont exclus car ils génèrent trop de retenues dans les additions du type p+r,q+r,q+r et q+s.
Après quelques tâtonnements, il apparaît que les «bons» couples (9,5) et (4,2) avec B à sept chiffres donnent la solution optimale : 9 559 959 595 + 4 422 422 = 9 564 382 017 qui est confirmée par un programme informatique. Une solution voisine avec B à six chiffres donne une somme inférieure: 9 559 995 995 + 442 222 = 9 560 438 217.