Non sans hésitation, car la théorie des fractions continues n'est plus guère enseignée, je vous propose un problème qui fait appel à cette technique, en assortissant son énoncé de quelques explications préliminaires.

Pour représenter une fraction continue


fraction ``à étages'' où chaque barre de fraction couvre tout ce qui est à sa droite, on convient d'écrire



Tout réel x > 0 peut être représenté par une telle fraction où les a_i sont des entiers


le développement étant infini si x est irrationnel, fini si x est rationnel.

a_k étant une approximation de



les rationnels obtenus en se limitant aux k premiers termes de gauche (k=1, 2, 3,...) sont des approximations du nombre représenté. Ces rationnels, alternativement > x et < x, sont appelés les réduites successives de x.

Tirez parti de ces notions, en vous inspirant de l'actualité du début 2002, pour compléter l'expression

solution