Problème n°1 : Le plus petit entier possible.

Trouvez le plus petit entier naturel divisible par 2007 et qui commence par 2008 et finit par 2006.

Généralisation : on recherche le plus petit entier naturel N qui est divisible par un entier n, commence par l'entier a et finit par l'entier b (n, a et b donnés à l'avance). Discuter de l'existence de N. S'il existe, quelle est la démarche pour le déterminer?

Problème n°2 : Bien plus grand qu'un gogol !

Vous calculez avec le plus puissant des ordinateurs la factorielle de 2008 qui est le produit des 2008 premiers entiers naturels. Ce nombre est évidemment colossal. D'après la formule de Stirling, il est équivalent à 10⁵⁷⁶², nombre bien plus grand qu'un gogol ( 10¹⁰⁰). Vous le divisez par le nombre transcendant e = 2,718281828... et vous retenez l'entier N le plus proche du quotient. Prouvez que N est divisible par 2007.

Généralisation : démontrez que pour tout n > 1, l'entier le plus proche du quotient de n ! par e est divisible par n- 1.

Problème n°3: Les entiers 19 et 2007 font bon ménage.

Ce problème est proposé par Pierre Henri Palmade

Soit a la plus grande racine de l'équation x³ - 3x² + 1 = 0.Montrez que la partie entière de a²⁰⁰⁷ est divisible par 19.

 Solution