Pierre Henri Palmade,Jean Moreau de Saint Martin,Daniel Collignon,Fabien Gigante,Claude Morin,Vincent Vermaut et Michel Boulant ont résolu le problème.

Solution de Vincent Vermaut

1ère jonglerie

1 ère question : il n'y a pas de solution. En effet, puisque n<=2007, nous avons nécessairement S(n)<=S(1999)=28 et donc n>=1979.

On vérifie que 1979 ne répond pas au problème.

Pour 1980<=n<=1989, nous aurions 1980+x+18+x=2007, ce qui est impossible

Pour 1990<=n<=1999, nous aurions 1990+x+19+x=2007, ce qui est impossible

Enfin pour n>=2000, nous aurions 2000+x+2+x=2007, ce qui est egalement impossible

2ème question. Dans S(n)+S(2)(n)+S(3)(n)=2007, dénommons S(n) par m.

Nous avons alors, m+S(m)+S(2)(m)=2007.

Nous en déduisons que m<=2007 ==> S(m)<=28 ==> S(2)(m)<=10 ==> m >= 1969

On vérifie que m=1969 ne répond pas au problème et que le plus petit m satisfaisant la relation est m=1977 (1977+24+6=2007).

Des lors, le plus petit n vaut 69.....9 (9 repris 219 fois)=7*10^219-1

3 ème question. De la même manière, nous obtenons que le plus petit m vérifiant la relation est 216 (216+199*9=2007). Des lors, le plus petit n vaut 9...9 (9 repris 24 fois)=10^24-1

2ème jonglerie

Puisque n<m=S(n)^2 <= (k(n)*9)^2=81*k(n)^2 avec k(n)=nombre de chiffres de n=plus petit entier plus grand que log10(n), nous en déduisons que n/k(n)^2 < 81 et donc que n<1000. Puisqu'alors k(n)<=3, nous pouvons légèrement raffiner en affirmant que n est un carré inferieur à 729. Un examen des différents carrés fournit n=169 et m=256

Solution de Michel Boulant

1ère jonglerie

1 ère question : Pas de solution pour S(n)+n=2007

2 ème question : J'ai trouvé pour le plus petit entier de S(n)+S2(n)+S3(n)=2007 le nombre

69999...(219 neuf) qui donne 1977+24+6

3 ème question : Pour la même question avec 200 termes: 999..(24 neuf) qui donne:216+9+9+9.....

2ème jonglerie

Un seul couple trouvé S(13²)=16 et S(16²)=13. Il n'y en a pas d'autres. Pour les

nombres de 5 chiffres et plus, S(n) vaut 9*5=45 au maximum et 45² donne un

nombre de 4 chiffres. Donc fonction décroissante.