A1913. A propos de la conjecture d'Erdös-Straus Imprimer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri
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Selon la conjecture d'Erdös-Straus, pour tout entier positif n >1, il existe une solution en x, y et z entiers positifs de l'équation .

Dans le paragraphe 4.5 Les fractions égyptiennes de la rubrique des problèmes non résolus, il est mentionné qu'on connaît des solutions chaque fois que n est différent de 24k+1 avec k entier positif.

Certaines informations font état que des solutions sont connues pour tout n différent de 1260k+1. Sauriez vous le démontrer ?


 Solution


Une première liste de solutions, partielle, a été donnée par Jean Moreau de Saint Martin

Fabien Gigante a donné une liste plus étendue mais encore partielle en accord avec le théorème de Schinzel. Il a par ailleurs repéré que la mention de 1260k + 1 résulte d'une confusion avec une conjecture de Sierpinski selon laquelle 5/n peut s'écrire sous la forme 5/n = 1/x + 1/y + 1/z. Il en donne la démonstration.