Au cours du premier épisode, nous avons obtenu avec la fleur de la vie d’Albert Dürer deux mesures approchées c₁ et c₂ du côté c d’un ennéagone régulier inscrit dans un cercle unité
On a c = 2sin(20°) = 0,6840402866551337….

Ce deuxième épisode donne l’occasion de découvrir trois nouvelles méthodes :
1^ère méthode de Pierre Tougne
Dans un repère orthonormé d’origine O, on trace :
1) un premier cercle de centre O et de rayon unité qui coupe l’axe des abscisses en A et l’axe des ordonnées en B.

2) un deuxième cercle de centre A et de rayon AB qui coupe l’axe des abscisses en un point C à droite de B.
3) la parallèle à l’axe des abscisses passant par B coupe le cercle de centre O et de rayon = 2, en un point P d’abscisse > 0 qui se projette en D sur l’axe des abscisses.
Prouver que c₃ = CD donne une meilleure approximation de c que c₁ et c₂.
2^ème méthode de Pedro Freitas
1) On trace un cercle (Γ₁) de centre A et de rayon unité.
2) On trace un deuxième cercle (Γ₂) de rayon unité dont le centre B est sur (Γ) et qui coupe (Γ₁) en deux points C et D.
3) La droite [BC] coupe (Γ₂) en un deuxième point d’intersection E du même côté que D par rapport à la droite [AB],
4) Le cercle (Γ₃) de centre C et de rayon r = CD coupe (Γ₁) en un deuxième point F,
5) Le cercle (Γ₄) de centre F et de rayon FB coupe (Γ₃) en un point G du même côté que D et E par rapport à la droite [AB].
Prouver que c₄ = EG est une meilleure approximation de c que c₁, c₂ et c.
3^ème méthode d’Almada Negreiros
1) On trace un carré ABCD de côté AB = 1 sur l’axe des abscisses puis les points E et F milieux respectifs de AB et de CD et enfin le point J milieu de FC.
2) On trace sur l’axe des ordonnées le point G d’ordonnée – 1/2 puis le cercle de centre G et de rayon GD qui coupe le côté BC au point H,
3) Le cercle de centre B et de rayon BH coupe le segment EF au point I
Prouver que c = IJ est une meilleure approximation de c que les quatre précédentes.

Question annexe pour les plus courageux : montrer que la longueur du segment IB donne la mesure exacte du côté d’un polygone régulier de a côtés inscrit dans un cercle de rayon unité et celle du segment IK donne une bonne approximation du côté d’un polygone régulier de b côtés inscrit également dans un cercle de rayon unité.

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