B144. A la poursuite de la bimagie Imprimer

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Problème proposé par Jacques Boudier

Q1 Démontrer que l’on sait trouver au moins un entier N strictement positif qui  est la somme de deux carrés parfaits d'au moins quatre manières différentes, à savoir N = a² + b² = c² + d² = e² + f² = g² + h² avec a,b,c,d,e,f,g,h entiers distincts > 0 obéissant à la relation ab + cd  = 2(ef + gh).

Q2  On suppose qu’il existe un carré magique Cb (5x5) qui reste magique si les 25 entiers positifs distincts qu’il contient sont élevés au carré. Cb est alors appelé carré bimagique. A l’intérieur de Cb, on retient les 17 entiers repérés par les croix noires (X) qui forment une étoile bimagique Eb.
                                                              B144
Donner l’exemple d’une telle étoile dont tous les termes positifs sont inférieurs à 2020. Montrer que l’on peut compléter cette étoile avec huit entiers positifs (x) placés le long des bords  du carré (5x5)  de sorte que le carré constitué des 25 entiers soit magique.
Pour les plus courageux : est-il possible que le carré (5 x 5) ainsi obtenu soit bimagique ?

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