Problème proposé par Bernard Vignes
Pour tout entier impair k > 3,on s’intéresse aux couples appelés « sympathiques » d’entiers (m,n) tels que 
k < m < n  et les entiers m – 1 et n – 1 sont des diviseurs de kmn – 1.
Q₁ Prouver qu’il existe au moins sept familles de couples (m,n) sympathiques définies par des expressions algébriques distinctes de m et de n en fonction de k.
Q₂ Déterminer en fonction de l’entier k fixé à l’avance, la plus grande valeur possible de l’entier n parmi tous les couples (m,n) sympathiques.Même question relative à la plus grande valeur possible de l’entier m.
Q₃ Avec l’aide d’un automate, établir les listes des couples sympathiques pour k prenant respectivement les valeurs 5,7 et 11 et vérifier que pour chacune de ces valeurs, l'ensemble des couples sympathiques ne se limite pas aux couples obtenus avec les expressions algébriques précédemment déterminées.

 Solution