Problème proposé par Pierre Renfer
Soit E₁ l’ensemble des entiers naturels n qui peuvent s’écrire n = x²+ xy + y², avec x, y entiers naturels.
Soit E₂ l’ensemble des entiers naturels n qui peuvent s’écrire n = x²− xy + y², avec x, y entiers naturels.
Soit E₃ l’ensemble des entiers naturels n qui peuvent s’écrire n = x²+3y², avec x, y entiers naturels.
Q₁ Montrer que ces trois ensembles sont égaux.On note E cet ensemble.
Q₂ Montrer que tous les nombres premiers,congru à 1,modulo 3,appartiennent à E.
Q₃ Montrer qu’un entier naturel n appartient à E si et seulement si, dans sa décomposition en facteurs
premiers, tous les facteurs premiers congrus à 2, modulo 3, interviennent avec un exposant pair.

 Solution