A1617. Le socle de l'entier n - A1617. Le socle de l'entier n Soit un entier n... | Les jeux mathématiques de Diophante, plus

Soit un entier n ≥ 2 avec ses diviseurs classés par ordre croissant 1 = d₁ < d₂ < d₃ < …< d_k = n. Le socle s_n de l’entier n est égal à la somme des produits de deux diviseurs consécutifs soit s_n = d₁d₂ + d₂d₃ + …+ d_k-1d_k.
On pose r_n = s_n/n²
Q₁ Prouver que r_n < 1 pour tout n ≥ 2.
Q₂ Déterminer le plus petit entier n tel que r_n > 0.95
Q₃ Déterminer les entiers n tels que s_n est un diviseur de n².
Q₄Prouver que quels que soient i et j entiers r_2i > r_{2j + 1}
Q₅ Déterminer deux entiers p et q, 2 < p, q < 10000, p pair et q impair tels que r_p – r_q < 1/30
Source :olympiades internationales de mathématiques 2002 à Glasgow