S₁ Les points du plan sont coloriés en vert et jaune. Prouver que l’une des deux couleurs contient des points placés à n’importe quelle distance les uns des autres.

S₂ Les entiers naturels sont coloriés en rouge et bleu. La somme de deux entiers de couleurs différentes est bleue et leur produit est rouge.
 Q₁ Déterminer la couleur d’un entier qui est le produit de deux entiers rouges.
 Q₂ Il y a 119 nombres entiers rouges strictement inférieurs à 2025 que l’on classe par ordre croissant.    
 Déterminer le 19^ième de la liste.

S₃ On trace dans le plan xOy un losange équilatéral OABC avec A sur l’axe des abscisses et  AOC = 60°.    
 Q₁ Montrer qu’il existe une rotation d’angle α  autour de O telle que OABC devient OA’B’C’ avec BB’ =  BC.
 Q₂ En déduire que si les points du plan sont coloriés en rouge, bleu et jaune alors il y a nécessairement deux points du plan séparés de la distance 2025 qui sont de même couleur.

S₄ L’unique salle d’exposition de ce musée d’art contemporain a la forme originale d’un polygone à 14 côtés.                                          
                
                                                                                                         
 Q₁ En coloriant de manière appropriée les sommets de ce polygone, déterminer le nombre minimum de gardiens  qui permet d’en assurer la surveillance.
 Q₂ Pour les plus courageux : quel est le nombre minimum de gardiens avec un n-gone simple qui n’est pas croisé et ne contient pas de trous ?

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