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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes du mois D1772. Le problème oublié de Fermat
D1772. Le problème oublié de Fermat Imprimer Envoyer

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Voici un exercice qui s’inspire d’une énigme géométrique proposée par Pierre de Fermat en 1658, résolue par Leonhard Euler en 1747 et oubliée pendant des siècles :
Dans un repère orthonormé Oxy on trace :
 - le cercle (Γ) de centre O et de rayon r qui coupe l’axe des x aux points B et D d’abscisses respectives + r  et - r et l’axe des y au point M d’ordonnée + r,
- les points A et C sur la première bissectrice des axes Ox et Oy passant par O,le premier d’ordonnée positive et le second d’ordonnée négative, qui se projettent respectivement aux points H et K sur l’axe des abscisses,avec H à l’intérieur et K à l’extérieur du segment BD.Les segments BH et OD sont vus du même angle à partir de A et les segments KD et OB sont vus du même angle à partir de C,
- les sommets E et F du rectangle BDEF tels que E d’ordonnée < 0 est à l’intersection du cercle (Γ’) de centre D et de rayon DM avec la perpendiculaire passant par D à l’axe des abscisses, soit DE = DM = BF,
- le point U sur l’axe des abscisses entre O et B tel que OU = u. La droite [FU] coupe le cercle (Γ) en un point P d’ordonnée > 0. La droite [PE] coupe l’axe des abscisses au point V.
- le cercle de centre B et de rayon BV coupe le cercle de centre D et de rayon DU aux  points X et Y.
Q1 Prouver que les cinq points A,B,D,X et Y sont cocyliques et que le point C est sur (Γ’)
Q2 Avec r = 5 et u = 3,calculer les périmètres des quadrilatères ABCD et BXDY.

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