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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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D1726. Trois points de rencontre remarquables Imprimer Envoyer

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Soient un triangle ABC, O le centre de son cercle circonscrit, G son centre de gravité et H son orthocentre.
On trace les points A’,B’ et C’ symétriques de A,B et C par rapport aux droites [BC],[CA] et [AB] puis les centres U,V et W des cercles circonscrits aux triangles BOC,COA et AOB.
Q1 Démontrer que les sommets X,Y et Z du  triangle qui est l’image du triangle A’B’C’ par l’homothétie de centre G et de rapport 1/4 sont respectivement sur les côtés BC,CA et AB du triangle ABC.
Q2 Démontrer que la droite [OH] et les droites perpendiculaires en X,Y et Z aux côtés BC,CA et AB sont concourantes en un même point N.
Q3 Démontrer que les droites [AU],[BV] et [CW] sont concourantes en un même point K qui est conjugué isogonal* de N.
Q4 Démontrer que les cercles circonscrits aux triangles AB’C’,BC’A’,CA’B’ sont concourants en un point aligné avec les points O et K.
* Nota :le conjugué isogonal du point K dans le triangle ABC est construit par symétrie des droites [KA], [KB] et [KC]par rapport aux bissectrices des angles au sommet du triangle.



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