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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes du mois A1899. La saga de Méphisto (3ème épisode)
A1899. La saga de Méphisto (3ème épisode) Imprimer Envoyer

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Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
 1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q1 Démontrer que les deux nombres entiers n et n + 2 sont des nombres premiers jumeaux si et seulement si la somme de leurs σ est égale au double du plus grand d’entre eux et la somme de leurs φ est égale au double du plus petit.
Q2 Démontrer qu’un entier n est un nombre premier si et seulement si φ(n) divise
n – 1 et n + 1 divise σ(n).

Q3 Trouver au moins cinq entiers n positifs < 2021 tels que φ(σ(n)) = n
Nota : les trois questions sont indépendantes



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