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Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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E6911. Des pingouins très british Imprimer Envoyer

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Dans cette île britannique de l’Arctique, il y a 2020 pingouins qui se dandinent en direction de leur cantine favorite.Ils tiennent dans leur  bec des tickets tous différents  numérotés de 1 à 2020.
Pour éviter la bousculade lors de l’entrée dans la cantine, ils sont priés de constituer préalablement une queue unique. Selon l’ordre croissant des numéros des tickets, chaque pingouin obéit aux règles suivantes :
-    le pingouin n°1 est le premier de la queue,
-    pour tout entier k  > 1, le pingouin qui détient le ticket n° k calcule le plus grand entier m < k qui divise k et il se met dans la queue immédiatement derrière le pingouin porteur du n° m.
-    le processus se poursuit jusqu’au pingouin n°2020.
Quand  la queue est ainsi constituée,déterminer:
Q1 Les numéros portés par les dix premiers pingouins de la queue.
Q2 Les numéros portés par les dix derniers pingouins de la queue.
Q3 Le nombre de pingouins qui sont derrière le pingouin porteur du ticket n°1152
Q4 Le nombre de pingouins qui sont devant le pingouin porteur du ticket n°800
Q5 Les numéros portés par les pingouins qui sont devant et derrière le pingouin porteur du ticket n°33
Q6 La position du pingouin porteur du ticket n° 2020.
Source : British Mathematical Olympiad 2019
Nota : pour résoudre le problème, il est conseillé d’utiliser la table des nombres premiers ≤ 2020.



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