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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes du mois A581-0,1,2,...deux infinitudes
A581-0,1,2,...deux infinitudes Imprimer Envoyer

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Soit un entier n ≥ 0. On cherche les entiers strictement positifs x tel que la somme des puissances de x d’ordre 0 à n est un carré parfait.
En d’autres termes, pour un entier n donné, on cherche les solutions en x et y entiers > 0 de l’équation
(E) : 1 + x + x2 + …+ xn = y2,
Q1 Démontrer que :
- pour n = 2, (E) n’a pas de solution [*]
- pour n = 3, (E) a au moins deux solutions1[*]
- pour n = 4, (E) a une seule solution [***]
- pour n = 5, (E) n’a pas de solution [***]
Q2 Démontrer qu’il existe une infinité de valeurs de n telles que l’équation (E ) a au moins une solution [*]
Q3 Démontrer qu’il existe une infinité de valeurs de n telles que l’équation (E ) n’a pas de solution [***]
1 Nota : pour les plus courageux : prouver qu’il y a exactement deux solutions [*****]





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