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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes du mois A373. Les nombres en or
A373. Les nombres en or Imprimer Envoyer

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On note φ le nombre d'or qui est la plus grande racine réelle de l'équation x² − x − 1 = 0.
Un entier naturel n est dit nombre en or s'il existe:
- deux entiers naturels p et q,
- p + q + 1 entiers ap, ap-1, ...a1 ,a0 ,a-1, a-2, ....a-q + 1, a-q ne prenant que les valeurs 0 et 1 tels que:
n = app + ap-1p-1 + ....+ a₁.φ + a₀ + a-1. φ-1 + ...+a-q-q  =  a373.
Par exemple l'entier 1 est un nombre en or car on peut écrire 1 = φ-1 + φ-2 avec ai = 0 pour  ≥ 0, a-1 = a-2 = 1.
Q1 Montrer que les entiers 2 et 3 sont des nombres en or et en donner une représentation en or.
Q2 Trouver une représentation en or des entiers 2018 et 2019.
Q3 Démontrer que tous les entiers naturels admettent une repésentation en or.



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