Small Fonts Default Fonts Large Fonts

Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes du mois G2937. Mises entre parenthèses
G2937. Mises entre parenthèses Imprimer Envoyer

calculator_edit.png  nouveau 

Le signe "/" désignant la division,on considère l'expression E = p1 / p2 / p3 /..../ pn  qui contient n nombres premiers distincts p1, p2, p3,...., pn dans un ordre fixé . On place dans E des parenthèses (..) qui indiquent l'ordre dans lequel les nombres sont divisés de sorte que le résultat obtenu est une fraction rationnelle fi (i = 1,2,...) *.
Q1 Déterminer en fonction de n le nombre k de fractions distinctes obtenues avec tous les arrangements possibles des parenthèses.
Q2 On considère l'expression E avec les sept nombres premiers 2,3,5,7,11,13 et 17 pas nécessairement pris dans cet ordre et on classe par ordre croissant toutes les fractions rationnelles distinctes que l'on peut obtenir: f1,f2,f3...,fi,....fk.
Montrer qu'il existe un arrangement des sept nombres dans E qui satisfait dans cet ordre les deux conditions suivantes:
- il existe une fraction fi de la forme Ni / Di avec Ni et Di entiers tels que Ni − Di = 1,
- le rapport r = fk /f1 est le plus grand possible.
Donner la valeur correspondante de r ainsi qu'une écriture de E avec les parenthèses dont le résultat est fi.
Déterminer le nombre d'expressions E qui satisfont les deux conditions.

 *Par exemple,pour n = 3, p1 = 3, p2 = 13 et p3 = 2, on a l'expression E = 3/13/2 dans laquelle il y a deux manières de placer les parenthèses qui permettent d'obtenir : f1 =  (3/13)/2 = 3/26 et f2 = 3/(13/2) = 6/13.




Pour envoyer vos solutions, Cette adresse email est protégée contre les robots des spammeurs, vous devez activer Javascript pour la voir.

 
RSS 2.0 Our site is valid CSS Our site is valid XHTML 1.0 Transitional