On peut placer les sommets A,B et C d'un triangle rectangle pythagoricien dont les
côtés valent 3,4,5 dans un
repère Oxy de telle sorte que leurs coordonnées soient toutes entières.Par exemple : A(0,0), B(4,0)
et C(0,3).
1)Trouver
un autre exemple d'un triangle ayant ces propriétés et dont les
longueurs des côtés sont par ailleurs des entiers consécutifs.
2)Peut-on trouver une infinité de ces triangles ?
3)Comment caractériser ces triangles ?
Solution
Soit le triangle OPQ dont les côtés OP, PQ et OQ sont respectivement égaux à n, n-1 et n+1
Soit OA = x 
0 et AP = y 
0 avec x et y entiers.
Soit CQ = u et OC = v avec u et v entiers tels que 0 
u 
x et y 
v
Alors BP = v - y et BQ = x - u
Nous avons les identités suivantes :
De ces trois équations, on déduit une équation du second degré dont la variable u est fonction de x et de n :
On en déduit : u = 
et v = 
Il apparaît que u = x/2 +2*x/n + 
peut être un nombre entier si et seulement si x=n 
y=0
Dès lors u = x/2 + 2 et v = 
v est un entier si et seulement si 
est un entier.
On a donc à résoudre l'équation de Pell de la forme 3X2 - 12 = Y2 dont les solutions sont données par :
avec a=2, b=1, c=3 et d=2
On est donc en mesure de calculer les côtés des premiers triangles répondant aux critères demandés. La liste peut évidemment s'étendre à l'infini.
Tous les triangles ont non seulement coordonnées de sommets et
longueurs des côtés qui sont des nombres entiers mais également leur
aire.
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