1-      J'affecte la valeur 1 aux cinq sommets A,B,C,D et E d'un hexagone régulier. La valeur de F est donnée par la relation F*A = B*E + D*C qui est  illustrée par le zigzag bicolore de la figure ci-dessous : segment FA en bleu  (F*A), segment AB ( = ), segment BE en rouge (B*E), segment ED (+), segment DC en rouge (D*C). On en déduit F = 2.

Je poursuis la tournée afin de donner une deuxième valeur au point A à partir des valeurs de B,C,D,E et F.En partant du sommet A adjacent à F dans le sens des aiguilles d'une montre, je réalise le même zigzag qui donne la relation A*B = C*F + E*D. D'où A = 3. Je continue le processus afin de donner une 2^ème , puis une 3^ème ...puis une k^ième  valeur à chacune des lettres à partir des dernières valeurs connues pour les cinq autres.  J'observe que les deux premières valeurs affectées à A,B,C,D,E,F  sont respectivement (1,3), (1,5), (1,11), (1,37), (1,83), (2,274).

Démontrer que quel que soit k, les k valeurs affectées à

chaque sommet de l'hexagone sont toutes entières.

 

2-      Je réalise la même tournée avec les sommets d'un heptagone régulier ABCDEFG. La valeur 1 est affectée à chacun des sommets A,B,C,D,E et F. Je calcule G à partir de la relation G*A = B*F + C*E + D² qui est illustrée par le zigzag de la figure ci-dessous. Je continue les tournées en prenant comme point de départ de chacune d'elles le sommet adjacent au précédent dans le sens des aiguilles d'une montre.

Démontrer que les  valeurs affectées à chaque sommet de  

l'heptagone restent toujours entières.

3-      Pour quels polygones à 2n et 2n+1 sommets dont 2n-1 et 2n d'entre eux ont la valeur initiale 1, a-t-on des séquences composées exclusivement d'entiers affectés à chacun des sommets ?

 Solution