Trouver toutes les solutions non négatives du système de 2012 équations défini par les relations :(x1 + x2 + ...+xk).(xk + xk+1 + ...+x2012)= 1 pour k = 1,2,...,2012
Jean Moreau de Saint ...
Problème proposé par Dominique Roux L’entier n étant donné, dans quels cas existe-t-il une quantité nulle, finie non nulle ou infinie de suites de n entiers consécutifs dont la somme des carrés est ...
Ce casse-tête fait appel à votre calculette préférée qui vient de subir bien des misères : les opérations élémentaires +, - , x , / ,x², racine carrée,...ne fonctionnent plus et seules les touches ...
On dispose d’un très grand nombre de pièces de même apparence, les unes pesant 10 grammes et les autres pesant 9 grammes, que l’on répartit par piles de 24 pièces toutes de même poids.On choisit six ...
Problème proposé par Michel Lafond Trouver trois entiers x,y et z plus grands que 1 tels que xx.yy = zz Pour les plus courageux : démontrer qu’il existe une infinité de solutions en x,y et z entiers ...
Problème proposé par Christian Romon J'ai 15 boules de poids tous différents. Un ami qui dispose d'une balance à plateau me donne le classement ordonné des 3 boules que j'ai choisies de lui donner ...
Problème proposé par Michel Lafond x, y, z, t sont des réels qui vérifient 0 < x < y < z [t peut être négatif] et :
xt + yt + zt = ...
Dans une botte de foin faite de brins numérotés de 1 à 1000000 (un million),dénicher deux brins dont les numéros p et q sont tels que pour tout entier n >0, les nombres p.2n + 1 et q.2n - ...
On introduit l’entier 2010 dans la mémoire d’un automate. A l’étape n° k de son programme, il calcule le plus grand commun diviseur d de k et de l’entier n qui est dans sa mémoire puis il remplace n ...
On vous donne 9 pièces d’apparence identique dont une est plus légère que les autres. Vous disposez de trois balances Roberval identiques dont l’une (on ne sait pas laquelle) est cassée et donne des ...
Déterminer toutes les solutions possibles des équations de la forme pa = qb + rc.sd dans lesquelles p,q,r et s sont des nombres premiers distincts choisis dans l’ensemble et a,b,c et d sont des ...
n objets ont leurs poids en grammes tous distincts qui s’échelonnent entre 1 gramme et n grammes mais en l'absence de marquage, le poids de chacun d'eux n'est pas identifié et n'est connu que de Zig. ...
n objets ont leurs poids en grammes tous distincts qui s’échelonnent entre 1 gramme et n grammes mais en l'absence de marquage, le poids de chacun d'eux n'est pas identifié et n'est connu que de Zig. ...
Démontrer qu'il existe un nombre fini de triplets d'entiers strictement positifs (a,b,c) pour lesquels les trois nombres A = ab ‒ c, B = bc ‒ a et C = ca ‒ b sont des puissances de 2 et qu'à l'inverse ...
On a neuf boules d'apparences identiques mais de poids tous différents et on souhaite les classer par ordre décroissant de poids. On dispose d'une balance très particulière conçue à l'époque d'Al Khazini ...
On a quinze boules d'apparences identiques mais de poids tous différents et on souhaite les classer par ordre décroissant de poids. Comme dans le problème A726, on dispose d'une balance qui comporte ...
Problème proposé par Michel Boulant
Q1 Sur la première cible, le disque central vaut 31 points, la couronne intermédiaire 24 points et la couronne externe 13 points. Déterminer ...
On dit par convention que l'ADN d'un entier positif n est déterminé par les trois fonctions: τ (n) = nombre des diviseurs de n, y compris 1 et l'entier n, φ(n) = nombre d'entiers compris entre 1 et ...
On considère la suite S formée par les premiers chiffres : 1,5,2,1,6,3,… des puissances successives de 5 : 1,5,25,125,625,3125,…Démontrer que n’importe quelle sous-suite extraite de S et écrite dans ...
Problème proposé par Dominique Chesneau On a récupéré un lot de 9 pièces dont l’une est plus légère que les autres . Pour la détecter,on dispose de 3 balances à deux plateaux (apparemment identiques) ...
Fabien Gigante,Anne Bauval,Jean Moreau de Saint Martin,Louis Rogliano et Nicolas Petroff ont résolu ou traité le problème. La réponse est "faux" et le plus petit entier n tel que ...
Une suite de n ≥ 2 entiers positifs distincts (x₁,x₂,x₃,,….,xn) est appelée « remarquable » si pour i = 1,2,..,n – 1 on a : PGCD(xi, xi+1) = 1,PGCD(xn,x1) = 1 et x1/x2 + x2/x3 + …...+xn-1/xn ...
Problème proposé par Dominique Chesneau x étant un réel quelconque,existe-t-il des fonctions réelles f(x) et g(x) telles que f(g(x)) soit strictement croissante et g(f(x)) soit strictement décroissante ...
Q1 Trouver les dimensions entières de deux triangles distincts l’un rectangle et l’autre isocèle qui ont même périmètre et même aire. Q2 Prouver qu’il existe une paire unique de triangles distincts ...
Pour tout entier n ≥ 1 , on calcule le déterminant D de la matrice carrée M de dimension n dont le terme général m(i,j) est égal au plus grand commun diviseur (PGCD) des entiers i et j avec 1≤ i,j ...
Au Paradis, Alice et Saint Pierre ont le dialogue suivant: Alice: “Je viens de rencontrer trois belles âmes qui ont pour âges respectifs a,b et c années Les trois entiers (a,b,c) forment un triangle ...
Trouver une suite S la plus courte possible de k entiers strictement positifs distincts ai , i = 1,2,..,k telle que : - les entiers 1,2,3 et 4 pas nécessairement dans cet ordre appartiennent à ...
Problème proposé par Michel Lafond La bataille terrestre se joue sur un terrain carré de n x n cases [n > 3]. Zig et Puce ont chacun une grille n x n non visible de l’adversaire. Puce a un tank ...
Vous disposez d'un stock de briques pleines qui ont la forme de parallélépipèdes rectangles identiques et uniformes de 30 cm de longueur. Avec un nombre entier k fixé à l’avance,il s'agit de ...
On note les sommets d’un pentatétracontagone régulier avec 15 lettres A, 15 lettres B et 15 lettres C.Peut-on toujours choisir trois triangles AAA,BBB et CCC isométriques ?
Le problème a été ...
Après les problèmes E614, E 615 et E624, c’est un quatrième tour de cartes qui est proposé. Diophante accompagné de ses deux acolytes Hippolyte et Théophile montre au public un jeu de 53 cartes en ...
On considère les suites d’entiers S(k) avec k = 1,2,3,.... dont le premier terme u1(k) est égal à k + 1 et le terme général de rang n un(k) est le plus petit entier strictement supérieur à un-1(k)qui ...
Diophante choisit secrètement deux nombres entiers positifs puis il donne à Hippolyte leur produit et à Théophile leur somme,chacun d’eux étant informé de la nature du nombre reçu par son voisin. ...
Problème proposé par Michel Lafond Zig et Puce jouent au loto. Zig choisit 6 numéros dans E = .Puce doit deviner les 6 bons numéros en posant des questions à Zig sous la forme de parties P de E. Zig ...
Problème proposé par Michel Lafond
On considère un échiquier infini dont toutes les cases contiennent 0 au départ. Il s’agit de placer dans N cases les entiers 1, 2, 3, ---, N de manière que tout ...
Soit (T) un triangle dont les coordonnées des sommets dans un repère Oxy sont toutes entières. Q1 Le triangle ABC est un triangle (T) qui contient en son intérieur (au sens strict, c’est à dire côtés ...
Enigme proposée par Michel Lafond Dans le texte ci-dessous, trouver le plus grand nombre possible N de noms de mathématiciens célèbres depuis l’antiquité jusqu’à nos jours. Certains noms sont orthographiés ...
Soient un entier naturel n > 0 et la liste des n2 entiers de 1 à n2. On cherche le nombre minimum f(n) d’entiers qu’il convient de supprimer de cette liste de sorte qu’il est impossible de former ...
On considère la suite S des entiers a1,a2...,an,... qui ont les propriétés suivantes : - a1 = 1 - si an s’écrit sous la forme XYk avec le préfixe X, éventuellement ...
Q1 Sait-on construire une suite de 2016 entiers distincts compris entre 1 et 100 000 tels que trois quelconques d’entre eux ne forment jamais une progression arithmétique? Q2 Même question que Q1 avec ...
Soit un triangle équilatéral ABC de côté n entier ≥ 2. Sur la première ligne du côté horizontal BC, on écrit une suite de n caractères constitués de 0 et de 1 puis sur une deuxième ligne on écrit ...
Puce informe le public que Zig, pour le moment dans sa loge,va dans quelques instants réaliser un véritable tour de magie avec un jeu de 32 cartes. Dans un premier temps,Puce convainc le public que ...
Problème proposé par Gwenaël Robert En l'an 1730, juste avant d'être pendu haut et court, le célèbre pirate Olivier Levasseur jeta un cryptogramme dans la foule en s'écriant : « Mon trésor à qui ...
On trace les sommets d’un dodécagone sur la circonférence d’un cercle de telle sorte que les longueurs des arcs qui séparent les sommets adjacents prennent les valeurs entières de 1 à 12 cm dans un ...
Trouver le plus grand entier n tel qu'il existe une suite composée de n entiers strictement positifs dans laquelle chaque terme ne divise pas les n − 1 autres et parmi trois termes quelconques, l'un ...
Problème proposé par Jean-Louis Legrand Le conseil d'administration de la startup Math.com décide de désigner les trois membres de son comité exécutif parmi sept candidats extérieurs à l'entreprise. ...
A partir d'un entier quelconque n strictement positif, on peut réaliser les deux opérations suivantes: 1) le multiplier par un entier quelconque strictement positif, 2) supprimer tout ou partie des ...
Diophante fixe un entier naturel n ≥ 2. Zig et Puce partent d'une ligne vide, le premier joueur écrit "0" ou "1" puis chacun à son tour ajoute "0" ou "1" à la fin de la séquence de "0" et de "1" précédemment ...
Diophante choisit un entier n puis Zig et Puce s’adonnent à une joute de calcul mental qui obéit aux règles suivantes : 1) Le premier joueur annonce un nombre pair inférieur ou égal à n, 2) A tour de ...
Zig a rendu visite à Alice (A), Benjamin (B) et Cunégonde (C), les trois spécialistes du calcul des décimales du nombre π (voir D1846). Il a inscrit sur le front de chacun d’eux un entier positif en ...
On écrit trois entiers strictement positifs et on répète autant de fois que nécessaire l’opération suivante : on choisit deux entiers x et y parmi les trois avec x ≤ y et on les remplace par 2x et y ...
On considère la suite définie par: x0 = 1, x1 = 2 et pour n ≥ 1 par la relation de récurrence (n + 1).xn+1 = xn.(xn + n). Q1 Vérifier que les dix premiers termes de la suite sont des entiers.[*] ...
On considère les deux suites en miroir un et vn définies par : u1 =0, u2 = 1, un+2 = un+1 + un/n et v1 =0, v2 = 1, vn+2 = vn+1/n + vn Déterminer la limite de 2un/vn2 quand n tend vers l’infini. ...
Soit un treillis triangulaire équilatéral de côté 8 qui contient 45 points représentés par des croix bleues dans la figure ci-dessous:
...
Dans la galaxie Diophantie, l’espace (à trois dimensions) est partagé par un certain nombre de plans tels que trois d’entre eux ont toujours un point commun mais quatre ou plus ne passent jamais par ...
Quand son immeuble disposait d’un seul ascenseur, Zig avait constaté que pour se rendre de son bureau à la salle de réunion du dernier étage, à l’exclusion des cas où l’ascenseur était sur son palier, ...
A,B,C,D et E décident de disputer un tournoi circulaire qui met successivement face à face deux personnes jouant à une partie de pile ou face (Ppf) où chacun d’eux a une probabilité de gain (ou de ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Dans une suite indéfinie de lancers de deux dés (chaque lancer donne un résultat entre 2 et 12), Zig gagne dès que l’on voit apparaître deux 7 consécutifs, ...
L’Institut Monétaire de la Diophantie dont la monnaie est l’ouro (Ö), soucieux d’éviter la prolifération des pièces de monnaie, a émis une série limitée de 12 pièces dont les valeurs faciales ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Soient 2 bases de numération B1 et B2 qui sont deux nombres premiers entre eux, avec B1 < B2. Un nombre N1 en base 10 est représenté dans la base B1 par ...
G145 – Le club des cinq [***** à la main]
Diophante invite Alexandre, Béatrice,Charles,Delphine, Ernest à choisir une séquence de 4 lettres constituée avec les deux seules lettres N (comme Noire) ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Autour de la table ronde où siègent 15 personnes, le mot secret circule, de la bouche de celui qui vient de le recevoir à l’oreille d’un de ses ...
Problème proposé par Dominique Chesneau On pose l’un sur l’autre et de façon aléatoire(1) deux quadrillages orthonormés dont les bandes ont pour largeur 10 centimètres. Déterminer la surface moyenne ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin On pave un rectangle 6x12 avec 18 dominos 1x2 et 36 carrés 1x1, sans recouvrement ni trou. Combien de dessins distincts peut-on obtenir ? Nota ; Deux ...
Grille n°62 proposée par Jean Michel Bernard
Cette grille utilise des Nombres Premiers Extensibles à Gauche (NPEG). Un nombre de n + 1 chiffres est un Nombre Premier Extensible à Gauche s'il est ...
Grille n°61 proposée par Philippe Laugerat
José Pacios, Jean Michel Bernard et Philippe Laugerat ont résolu la grille dont voici la solution:
Puce a choisi les coordonnées de trois sommets d’un triangle situé à l’intérieur d’un cercle (C) dont le centre est à l’origine et le rayon est égal à 10 cm. L’objectif de Zig est de localiser ce ...
Vincent Vermaut et Jean Michel Bernard ont résolu la grille dont la solution est donnée ci-après:
a b c d ...
Cette grille est proposée par Jean-Michel BERNARD
Tous les nombres sont différents Aucun nombre ne commence par zéro. pdc : produit des chiffres d'un nombre sdc = somme des chiffres d'un nombre ...
Ce problème remet au goût du jour un jeu de paume fort ancien consistant à faire circuler une balle à mains nues d’un joueur à un autre sans la faire tomber. Neuf joueurs conviennent que les distances ...
Cette grille est proposée par Jean-Michel BERNARD Elle concerne la résolution d'une équation du second degré (x - x1)*(x - x2)où x1 et x2 sont les racines. Elle contient un nombre premier de Mersenne ...
Des piquets en nombre n > 6 sont plantés dans un champ de telle sorte que trois d'entre eux ne sont jamais alignés. Monsieur Seguin en cherche six pour délimiter un enclos de la forme d’un hexagone ...
Grille n°63
Cette grille utilise les coefficients binomiaux C(a,b) associés à deux entiers a et b,a > b,tels que C(a,b) est le nombre de combinaisons de a objets pris b par b. Les couples (a,b) ...
Problème proposé par Michel Lafond Raccorder les 8 étoiles situées aux sommets d’un cube d’un parsec de côté par un réseau de segments de longueur totale minimale sachant que des nœuds en dehors des ...
Grille proposée par Philippe Laugerat
Cette grille utilise des nombres impairs de 9 chiffres divisibles par le produit de tous leurs chiffres. Ces nombres sont appelés NIDP. Par ailleurs elle contient ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Dans la carte politique de cette planète, tout pays est connexe (pas d’îles ni de colonies) et a des frontières communes (1) avec au moins p autres ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin On envisage ici une surface plus complexe (par exemple torique ou dotée d'anses) que dans le problème H145 (plan ou sphère), et la condition prend ...
Cette grille fait intervenir des nombres fortement composés (NFC). Un NFC possède plus de diviseurs que n'importe quel entier positif inférieur à lui. L'entier k qui figure dans diverses définitions ...
Grille proposée par Philippe Laugerat
Cette grille utilise des couples de nombres dits amiables ou encore amicaux . tels que la somme des diviseurs propres* de Nx1 est égale à Nx2 et réciproquement ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint-Martin Diophante a soudé une anse (le tube central) sur deux trous pratiqués dans un ruban de Möbius, en sorte qu’on peut passer de l’intérieur à l’extérieur ...
Problème proposé par Christian Boyer
On dispose d’un papier quadrillé fait de carrés unité et supposé illimité en taille sur lequel on dessine le motif initial avec cinq petites croix :
...
Problème proposé par Michel Lafond Si est un entier naturel au moins égal à 2, on pose dans certaines cases d’un carré n × n un pion de sorte que chaque case (occupée ou non) ait au moins une ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Zig a été embauché par la Poste pour relever les boîtes aux lettres de tout un quartier, et en vue d'organiser sa tournée il examine le plan du quartier. ...
Grille proposée par Philippe Laugerat
Cette grille contient des multiples de 4.054.182 = 2013 * 2014. Tous les nombres sont différents. Aucun nombre ne commence par zéro. ...
Grille proposée par Philippe Laugerat
Le nombre p est dit de Sophie Germain (NSG) si p et 2p + 1 sont des nombres premiers.On définit pn = 2pn-1+ 1. Un nombre p0 et dit n-NSG si p0,p1,....pn ...
Puzzle proposé par Jean-Marie Breton Définitions : Soit un carré 4x4 comportant 16 cases identifiées par une lettre. Chacun des 9 sous-carrés 2x2 est identifié comme ci-dessous par un chiffre de 1 ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint-Martin Aux Champs Elyséens, l'univers séjour des morts, Diophante débarque sur une planète de forme particulièrement biscornue : elle a pu se trouver divisée, ...
Problème proposé par Stéphane Rézel Q1 : Quelle taille a le plus petit damier sur lequel il est possible de prendre, comme au jeu de dames, 10000 pièces adverses en une seule rafle ? Q2: Même question ...
Problème proposé par Dominique Roux On part d'une hyperbole équilatère (H)de centre I et de trois points fixes A, B, C sur (H). Pour tout point M de (H) on construit les orthocentres A', B', C', des ...
Problème proposé par Michel Lafond
Q1. Quelle est la plus petite longueur d’une bande de papier rectangulaire de dimensions 1 X L qui peut par pliages recouvrir entièrement un carré de côté ...
Problème proposé par Dominique Roux Soit un hendécagone régulier convexe ABCDEFGHIJK inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1.La médiatrice de la corde BC coupe la perpendiculaire en A au rayon ...
Soit un triangle ABC quelconque . Démontrer les propriétés suivantes : 1) Il existe un point D dont on donnera la construction à la règle et au compas tel que le quadrilatère ABCD est bicentrique, ...
Une mouche se met à voler à l’intérieur d’une pyramide de verre et de métal assimilée à un tétraèdre régulier SABC de sommet S et de 41,90 mètres de côté.Partant d’un certain point M de la face SAB,elle ...
Problème proposé par Dominique Roux (à la veille de Noël 2013) On donne un triangle ABC. Pour tout point M autre que A, B, C on trace les cercles (MBC) , (MCA) , (MAB). Ils recoupent les côtés du ...
Trouver la dissection du triangle pythagoricien (3,4,5) en quatre parties disjointes entre elles, qui rend minimal le plus grand de leurs quatre diamètres1. Pour les plus courageux : même question ...
Problème proposé par Dominique Roux à partir d’un énoncé de la compétition australo-britannique « The 2013 Mathematical ashes » On donne sur un cercle de centre O, 4 points fixes A,B,C,D,et sur la ...
Pour les valeurs entières de k respectivement égales à 6,5,8 et 7(*) pourriez-vous aider Maximin à placer k points à l’intérieur d’un carré unité (côtés inclus) de sorte que l’aire A(k) du plus ...
Problème proposé par Dominique Roux (Q) désignant une conique variable tangente aux 3 côtés d'un triangle ABC et passant par son orthocentre H, démontrer que la tangente à (Q) au point diamétralement ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne 2 points A et C. Pour tout point B soit D sa projection orthogonale sur AC. On désigne par : I1 , I2 , I3 , I4 les centres des 4 cercles tangents aux 3 côtés ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne deux points A et B et un cercle (C) de centre C.Une droite variable, passant par B coupe le cercle en deux points P et Q. On suppose que A est en position ...
Moyen ***
