Le cercle inscrit de centre I d’un triangle ABC touche les côtés BC,CA et AB aux points A1,B1et C1 et le cercle exinscrit dans l’angle en A touche BC en A2.Soit A’ le milieu de BC. La droite A2I coupe ...
Définir la partie de l'ellipsoïde d'équation x2/a2+y2/b2+z2/c2 = 1
sur laquelle la normale fait avec Oz un angle donné. Quelle est sa projection sur xOy ? En déduire l'expression de l'aire ...
Soit une conique à centre (C), intersection d’un cône de révolution (S) et d’un plan (P).
Les cercles focaux de première espèce de (C) (cercles centrés sur l’axe focal et bitangents à la ...
Un point M parcourt l'ellipse fixe (E), et est le centre d'un cercle variable (C), orthogonal à un cercle fixe (D) bitangent à (E).
Trouver l'enveloppe de (C).
Problème proposé par François ...
La trisection de l'angle formait, avec la duplication du cube et la quadrature du cercle, trois problèmes défiant dès l'antiquité les géomètres armés de la règle et du compas. Mais les techniques de ...
De combien de façons peut-on représenter, comme différence d'une puissance de 2 et d'une puissance de 3,
a/ le nombre 7 ?
b/ le nombre 5 ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge ...
Par convention un nombre entier naturel est appelé « polygénique » si de deux manières distinctes ou plus il peut s’exprimer comme la somme d’un entier appelé « gène » et des chiffres de cet entier. ...
Problème proposé par Michel Lafond Placer aux centres de n cases d’un échiquier 8 x 8, n points M1, M2, M3 ... Mn de telle sorte que la suite des distances Mi Mi+1 pour i = 1, 2, ...., n-1 soit strictement ...
Tracer six arcs de cercles dont le nombre total d'extrémités est le plus petit possible, tels que deux arcs quelconques ont un point en commun et un seul (qui peut être l'extrémité d'un arc ou des ...
Des pirates d’âges tous différents se répartissent en quatre groupes d’effectifs identiques pour récupérer p pièces d’or enfouies dans l’Ile au Trésor. Pour la répartition du butin, ils se regroupent ...
Dans cette immense forêt, des arbres ont été plantés aux points de coordonnées x et y entières (négatives, positives ou nulles) par rapport à une origine O. Un arbre est invisible depuis cette origine ...
Je choisis un entier k et je fais l’inventaire du nombre p(k) des partitions de cet entier obtenues en additionnant les entiers 1,2,…,k pris dans l’ordre croissant avec ou sans répétition. Ainsi avec ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin On considère les quatre expressions : p3 + p2,3p + 2p,3p + p2,2p + p3 avec p nombre premier Lesquelles de ces expressions peuvent donner un carré parfait? ...
En généralisant la notion bien connue de nombre parfait, on dit qu’un entier est k-carrément parfait s’il est égal à la somme des carrés de ses k premiers diviseurs classés par ordre croissant. Trouver ...
Quatre entiers impairs distincts sont tels que la somme du plus petit et du plus grand comme celle des termes intermédiaires sont deux puissances de 4 et leurs produits respectifs sont égaux entre ...
Cet entier N de k chiffres (k > 1) a les caractéristiques suivantes : 1) Il n’est pas divisible par 10. 2) Si l’on supprime l’un de ses chiffres à l’exception du premier chiffre de gauche, le nombre ...
Six nombres premiers obéissent à la charade à tiroirs suivante : - En ajoutant 152 à mon premier puis au carré de mon premier, j’obtiens deux carrés parfaits, - En ajoutant 1 à mon second puis au carré ...
Problème proposé par Christian Romon L’oncle Picsou a entassé 200 pièces en or (20 francs Napoléon) parmi lesquelles il y a une pièce fausse mais il ne sait pas laquelle. Son banquier lui propose d’examiner ...
Dans mon jardin, n (compris entre 25 et 50) pots de géranium sont régulièrement espacés le long d’une allée circulaire.En ces temps de sécheresse, je décide de les arroser en parcourant l’allée autant ...
Par convention un nombre entier naturel positif n est appelé « puissant » si pour tout facteur premier p de n, p² divise aussi n. Ainsi 36 et 500 sont deux nombres puissants. Montrer que chacun des ...
Problème proposé par Michel Lafond A335-Les nombres chanceux-énoncé.pdf David Amar,Paul Voyer et l'auteur du problème Michel Lafond ont résolu le problème.
Dans un repère orthonormé on considère la famille des courbes représentatives de la fonction cubique f(x) = ax3 + bx2 + cx + d contenues dans le carré de centre O dont les côtés de longueur 2 sont ...
Un entier est dit « équilibré » si parmi deux chiffres consécutifs quelconques de sa représentation décimale l’un est pair et l’autre est impair. Par exemple 187830 est un entier équilibré.A contrario, ...
Problème proposé par Maurice Bauval Soit E l'ensemble des entiers x tels que 0 < x < 2011.Trouver une bijection f : E --> E telle que pour tout x de E, la valeur absolue de f(f ( f ( f ( ...
Problème proposé par Michel Lafond Q1: trouver tous les entiers naturels x,y et z tels que les trois restes de la division du produit de deux d'entre eux par le troisième sont tous égaux à 1. Q2: trouver ...
Ces trois (joyeux) lurons sont des nombres rationnels.Un même entier est la somme de leurs opposés et la somme de leurs carrés.Démontrer que leur produit peut s’écrire sous la forme d’une fraction ...
Problème proposé par Michel Lafond P, Q, R sont 3 polynômes du second degré tels que les suites P(n), Q(n), R(n) pour n = 0,1,2,.... sont strictement croissantes et aucun terme n'est commun à deux ...
Je calcule la somme des inverses des entiers qui vont de 1 à 2011 et j’obtiens une fraction irréductible a/b. Démontrer que 2011a – b est divisible par 2011 à la puissance 4.
Jean Moreau de Saint ...
On part de la séquence de 45 nombres entiers inférieurs ou égaux à 100, tous distincts dont 43 sont connus :a,b,17, 18, 21, 22, 24,25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 38, 39, 40, 44, 45, 48, 50, 52, 54, ...
Problème proposé par Michel Lafond On dit que des entiers naturels placés autour d’un cercle forment une ronde si deux nombres voisins ont toujours un diviseur commun supérieur à 1. Par exemple [10, ...
Problème proposé par Claudio Baiocchi La maison de parfums BC décide de lancer un nouveau produit qui, en concurrence avec le bien connu N5, s’appellera HaBC et sera vendu en flacons à forme pyramidale ...
Problème proposé par Michel Lafond
n >= 1 étant un entier naturel, il s’agit d’écrire n! comme produit de n facteurs entiers : n != F1 x F2 x F3 x - - - x Fn avec F1 <= F2 <= F3 - - ...
Deux polynômes P(x) et Q(x) de degré n sont appelés par convention « jumeaux » s’ils ont l’un et l’autre n racines entières et si la différence P(x) – Q(x) est une constante non nulle. 1) ...
On écrit la séquence des premiers chiffres des puissances entières positives de 5: 5,2,1,6,3,1,7,3... On en extrait une sous-séquence quelconque de k termes consécutifs que l’on écrit en renversant ...
L’entier T(k,n) = n^n^n^...^n, n apparaissant k fois dans la tour des exposants, est appelé par convention « tour babélienne de k étages et de n appartements par étage ». On rappelle qu’en l’absence ...
Un nombre est dit équilibré s’il s’écrit sous la forme d’un produit d’un nombre pair de facteurs premiers pas nécessairement distincts. Par exmple 26 = 2 x 13 et 49 = 7 x 7 sont des nombres équilibrés. ...
Deux nombres premiers p et q font un échange de bons procédés : p divise q2 + 8 de la même manière que q divise p2 + 8. Trouver toutes les valeurs possibles du couple (p,q) avec la condition 2≤ p ≤ ...
On construit une séquence d’entiers positifs, négatifs ou nuls de la manière suivante: - le premier terme est 1, - le kième terme est obtenu en additionnant ou en soustrayant (dans n’importe quel ...
Diophante choisit deux entiers k et n avec k ≥ 3 et n ≥ k2 puis il demande à Zig de trouver une partition de n en k entiers positifs et distincts de sorte qu’en les plaçant de ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Il s'agit ici de construire des séquences « CRmin » de nombres entiers à partir des règles suivantes : 1. la valeur initiale doit être ...
Quels sont tous les entiers qui s’écrivent en base 10 en répétant un même chiffre a sous la forme
et dont la représentation binaire comporte a fois le chiffre 1 ? Justifiez votre réponse. ...
On donne une paire (m,n) de deux entiers naturels premiers entre eux. Une opération sur ce couple consiste à le remplacer par (m + n,n) ou bien par (m,m + n). Démontrer que l’on peut toujours obtenir ...
Zig affirme qu’il a tracé quatre points dans le plan tels que toutes les distances qui séparent les points pris deux à deux sont des entiers impairs. Puce affirme que c’est impossible. Qui a raison ...
On considère la liste de tous les triplets ordonnés de nombres premiers (p,q,r), tels que l’équation du second degré px2 + qx + r = 0 a au moins une racine rationnelle. Déterminer tous les nombres ...
Problème proposé par Dominique Roux n étant un entier plus grand que 2, on retire n nombres dans l'ensemble des entiers de 1 à n2. Peut-on toujours trouver dans les entiers restants n nombres en progression ...
Problème proposé par Michel Lafond On appelle trapèze de largeur L et de hauteur H, une configuration comprenant H lignes contenant respectivement (de haut en bas) L, L – 1, L – ...
De retour d’Ispahan, Zig présente à Puce n sacs qui contiennent chacun 100 pièces de monnaie de la dynastie Kadjar. Les pièces pèsent toutes 10 grammes chacune à l’exception de 100 pièces plus légères ...
Q1 – Existe-t-il des nombres réels a et b tels que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : 1) a + b est rationnel et an + bn est irrationnel ? 2) a ...
Q1 Les quatre nombres réels positifs ai pour i =1,2,3,4 satisfont les inégalités ai.aj ≤ i + j pour tous les indices i et j distincts tels que 1 ≤ i < j ≤ 4. Déteminer la plus grande valeur possible ...
Une caravane de d dromadaires (d < 100) conduite par m méharistes arriva à la nuit tombante dans une oasis où étaient stockés des régimes de bananes en nombre r. Les méharistes,moulus de fatigue, ...
Pour une fraction rationnelle r < 1,on recherche la plus courte séquence de k entiers positifs distincts ai,i = 1,2,...k, tels que le produit des k nombres 1 – 1/ai est égal à r. On désigne ...
Soient un nombre premier p et un entier naturel N qui n’est pas divisible par p et dont l’écriture décimale contient deux zéros. Déterminer les valeurs de p pour lesquelles, quel que soit N satisfaisant ...
Montrer qu’il existe un entier positif inférieur à 2015 qui a les caractéristiques suivantes : - il s’écrit de quatre manières différentes sous la forme a2 + b3 avec a et b entiers ...
Trouver les entiers n tels que où désigne l’ensemble des diviseurs de n,y compris 1 et n. Source : Olympiade japonaise de mathématiques.
Jean Moreau de Saint Martin,Fabien Gigante,Jean Drabbe,Michel ...
Enigme proposée par Jean Moreau de Saint Martin Quel que soit l’entier k ≥ 1, on sait que pour tout entier n≥1, les entiers (n + 1)k et nk n’ont pas de facteur commun > 1. Montrer que pour k prenant ...
Pour x réel > 0, on définit la fonction f(x) = x + 1/x et pour tout entier naturel k > 1, on calcule f(xk) = xk + 1/xk.
Q₁ Démontrer successivement pour k = 2 puis pour k = 5 puis pour k = ...
Problème proposé par Augustin Genoud Huit sacs, A, B, C, D, E, F, G et H, contiennent chacun 100 billes. Six sacs ont uniquement des billes de 10 g. Un sac ne contient que des billes de 11 g et un ...
Soit un entier n. La somme des diviseurs de n,y compris 1 et n est désignée par σ(n).
On recherche une suite S strictement croissante de k entiers a1 < a2 <...< ak < 2015 telle que ...
On part de l'ensemble E0 = avec n entier strictement positif. L'ensemble E0 grandit de la manière suivante : on lui ajoute un entier relatif dès lors qu'on sait trouver un polynôme P(x) dont les coefficients ...
Problème proposé par Michel Lafond Un entier positif est dit décomposable s’il est la somme d'entiers positifs dont la somme des inverses est égale à 1. Ainsi 77 est décomposable puisque: ...
Par convention, le degré d’abondance d(n) d’un entier naturel n > 0 est égal au rapport σ(n) / n où σ(n) désigne la somme des diviseurs de n , y compris 1 et n. Q1 Déterminez les plus petits entiers ...
Q1Trouver le plus petit entier pas nécessairement composé tel qu'en lui ajoutant sur sa droite une suite de longueur quelconque de chiffres 1, l'entier ainsi obtenu est toujours un nombre composé Q2 ...
Pour tout entier positif n, soit f(n) - appelé miroir de n - la représentation décimale du nombre obtenu en écrivant n en binaire puis en remplaçant tout chiffre 0 par 1 et vice-versa. Par exemple ...
Problème proposé par Michel Lafond Si S est un entier positif, on note f (S) le plus grand entier égal à un produit de nombres rationnels positifs dont la somme est égale à S. Ainsi, f ...
Pendant que Puce écrit sur trois colonnes les entiers naturels consécutifs 1,2,3,.... ,puis les parties entières par défaut des racines carrées de ces entiers et enfin le cumul correspondant de ces ...
Soient un triangle acutangle ABC et un point P en son intérieur. On recherche les triangles ABC dont les six distances BC,CA,AB,PA,PB et PC sont des nombres entiers distincts (propriété (Π)). Q1 - P ...
Problème proposé par Michel Lafond On dit qu’un entier n ≥ 2 est séparable si E = peut être partagé en deux sous-ensembles A1 et A2 tels que : Exemple : 7 est séparable avec A1 = et A2 ...
Zig choisit k nombres premiers distincts pi ( i = 1,2..,k) strictement supérieurs à 7 et pour chaque pi il demande à Puce de trouver un ensemble Ei de cinq entiers distincts strictement positifs < ...
Problème proposé par Michel Lafond
Démontrer que tout entier naturel N peut s’écrire par un choix convenable d'un nombre premier p et de signes + et - sous la forme: N = +/- 2 +/- 3 +/- ...
Q1 Trouver le plus petit entier n positif tel que n2 ‒ 1 a 22 diviseurs. Q2 Trouver le plus petit entier n positif tel que n2 ‒ 1 a 10 diviseurs et n2 ‒ 4 en a 48. Q3 Trouver l'entier n, 0 < n ≤ ...
Problème proposé par Raymond Bloch Je possède trois champs de forme carrée dont les côtés ont pour dimensions en hectomètres : a,b et 1 avec a et b entiers distincts > 1. Je prépare une donation-partage ...
Soient trois entiers strictement positifs a,b et c. Q1 Déterminer le nombre maximum N d'entiers positifs distincts qu'il est possible d'obtenir en combinant ces trois entiers avec les quatre opérations ...
Problème proposé par Michel Lafond Un ensemble E d’entiers naturels de cardinal N est dit additivement séparé si les 2N parties de E ont des sommes distinctes deux à deux. Ainsi E = est additivement ...
On recherche les entiers k, m et n avec k > 1 et m ≠ n tels que les représentations décimales des deux nombres km + 1 et kn + 1 se déduisent l’une de l’autre par inversion de l’ordre ...
Déterminez tous les entiers a,b,c,d avec 1 < a < b < c < d tels que (a − 1)(b − 1)(c − 1)(d − 1) divise abcd − 1. Justifiez votre réponse.
Jean Moreau de Saint Martin, Claude Felloneau,Pierre ...
Problème proposé par Raymond Bloch On considère les progressions arithmétiques de trois carrés de fractions irréductibles dont la raison est un entier r compris entre 4 et 9 (4 ≤ r ≤ 9). Pour ...
Problème proposé par Michel Lafond On appelle ensemble géométrique, un ensemble de 4 points distincts du plan G = tel que les 6 distances des points pris deux à deux forment l’ensemble avec 0 < ...
Problème proposé par Michel Lafond On dit qu’un entier n ≥ 1 est d’ordre 3 s’il existe 3 rationnels positifs x,y,z tels que n = x + y + z = x.y.z Exemple 13 est d’ordre 3 puisque 13 = 36/77 + ...
Démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers p tels que dans la période du développement décimal de 1/p le nombre total des chiffres ≤ 4 est égal au nombre total des chiffres > 4. ...
On s'intéresse au coefficient central de la formule du binôme de Newton: pour k entier > 0, C(2k,k) = 2k!/k!2 avec factorielle de x = x! = 1*2*3*...*(x − 1)*x Q1 Démontrer qu'il existe un entier ...
Problème proposé par David Draï et Michel Lafond Pour n ≥ 4 on considère la suite un définie par u4 = 3 et pour tout n ≥ 5. désigne la partie entière par défaut de x. Exprimer ...
On note φ le nombre d'or qui est la plus grande racine réelle de l'équation x² − x − 1 = 0. Un entier naturel n est dit nombre en or s'il existe: - deux entiers naturels p et q, - p + q + 1 entiers ...
Q1 Déterminer six entiers distincts à deux chiffres tels que la somme des carrés des trois premiers est égale à la somme des carrés des trois derniers et après suppression du chiffre de droite de chacun ...
Phonétiquement : Oὐκ ἔλαβoν πόλιν ? = Où qu'est la bonne, Pauline? On vous présente 100 pièces de monnaie d'apparence identique mais 4 d'entre elles de même poids sont plus lourdes. Vous ...
Problème proposé par Michel Lafond
Les nombres qui interviennent dans cet exercice sont les nombres décimaux X d’écritures X = cmcm-1cm-2 ....c2c1c0,d1d2d3 ....dn-1dn m ≥ ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin On définit une suite un par u0 = 0, u1 = 1 et pour tout n ≥ 2 un = 2un - 1 − un-2 si n n’est pas un carré parfait, un = 2un - 1 − un-2 ...
Un entier n est par convention appelé "fort" si son nombre de diviseurs (y compris 1 et lui-même) est strictement supérieur aux nombres de diviseurs de tous les entiers qui lui sont inférieurs. Si ...
On écrit les parties entières par défaut des nombres réels dans l’ordre n = 1,2,3,.... et on obtient 88,7909,703384,.....
Démontrer que la suite ainsi obtenue contient des entiers ...
Problème proposé par Dominique Chesneau On note I l’ensemble des inverses des entiers strictement positifs . Quel est le plus petit ensemble contenant I et toute moyenne d’un de ses éléments avec un ...
Puce choisit une suite S de n ≥ 2 entiers strictement positifs dont n – 1 au moins sont distincts. Il établit la liste de toutes les sous-suites extraites de S ayant au moins un terme et calcule pour ...
Problème proposé par Michel Lafond Une chèvre est attachée à un piquet P à l’aide d’une laisse de 36 mètres. Peut-elle atteindre le point C (le chou) distant de 35 mètres ? Seul ...
On considère les k entiers relatifs a1, a2,...,ak ≥– 1 tels que a1 + a2 + ... + ak = k.
Déterminer les valeurs minimales et maximales de P = (a1 + a2).(a2 + a3)...(ak-1 + ak).(ak + a1) dans les cas ...
Problème proposé par Jean Nicot La fonction f(x) de la variable réelle x est définie par Q1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f et prouver qu’il existe un nombre réel x0 tel que f(x0) ...
On considère les nombres triangulaires T de la forme k(k+1)/2 avec k entier qui sont en même temps la somme de deux cubes parfaits et la différence de deux cubes parfaits T = A3 + B3 = C3 - D3 avec ...
Problème proposé par Michel Lafond a,b,c,x,y,z sont 6 nombres réels et on pose un = axn + byn + czn On connaît u0 = 467 / 38, u1 = 25, u2 = 51, u3 = 104, u4 = 218, u5 = 372 Q1. Calculer ...
Problème proposé par Michel Dufour Soit l’application f de N4 dans N4 définie par : f(x,y,z,t) = (abs(x – y), abs(y – z), abs(z – t), abs(t – x)) où abs(X) désigne la valeur absolue de X. Pour tout ...
Problème proposé par Pierre Renfer Question 1 Pour un entier naturel n non nul, on pose:
Montrer que la suite (un) converge et déterminer sa limite. Question 2 Pour un entier ...
Problème proposé par Michel Lafond On considère les trois suites définies par les relations de récurrence suivantes : u(n) = 4u(n – 1) – u(n – 2) avec u(0) = 1 et u(1) = 2 pour tout entier n ≥ 2, v(n) ...
On s’intéresse aux progressions arithmétiques d’entiers strictement positifs désignées par PA1(k,p1,r1) et PA2(k,p2,r2) qui contiennent k termes et dont les premiers termes sont respectivement ...
Démontrer que l’équation diophantienne a2 + p3 = b4 dans laquelle l’entier p est un nombre premier et les entiers a et b sont positifs, admet au moins une solution en p. On désigne par p1 la ...
Moyen ***
