Deux fourmis se déplacent à la surface d'un cube unité (on admet que la pesanteur ne les gêne pas).
Montrer que la fourmi rouge peut se placer en un point où la fourmi brune, d'où qu'elle parte, ...
A quelles conditions existe-t-il une sphère tangente aux 6 arêtes d'un tétraèdre ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre 2014
solution
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a/ Le tétraèdre est construit à partir d'une feuille carrée ABCD de 12 cm de côté ; sa base est formée du triangle joignant le coin A de la feuille aux milieux E et F des côtés BC et CD ; les faces ...
S et T sont deux sphères, s et t leurs rayons, T passant par le centre de S.
Quelle est l'aire de la partie de T intérieure à S ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre ...
Combien y a-t-il de sphères tangentes aux 4 plans des faces d'un tétraèdre donné ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de janvier 2019
solution
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Etant donnés les réels positifs a,b,c, déterminer le minimum de l'expression
(On évitera de recourir à la notion de dérivée).
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de janvier ...
Pouvez-vous prolonger la séquence 1, 6, 0, 3, 4, 17, ... ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'août-septembre 2014
solution
On écrit les entiers de 1 à 17, une fois chacun, formant une suite où chaque paire de termes voisins a pour somme un carré parfait. Reconstituez les suites répondant à cette condition.
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On considère l’ensemble E des entiers naturels n? 2013 tels que le produit des diviseurs propres* de n est égal à une puissance entière k > 0 de n. Par convention,on dit que l’empan ...
Deux spots S? et S? assimilés à deux points sont installés au sol et au plafond d’une salle de musée dans le plan médiateur d’un tableau afin de l’éclairer au mieux. Pour ce faire, chaque spot éclaire ...
Les touches de ma calculette qui fournissent directement les racines et les puissances d’un nombre quelconque sont en panne. A l’aide des seules touches qui donnent les quatre opérations élémentaires ...
On choisit k nombres entiers naturels positifs distincts a,b,c,...e. Un entier naturel positif se fait hara-kiri jusqu’au niveau k s’il remplit les conditions suivantes : - il a au moins k + ...
Sait on trouver 2012 trinômes quadratiques tels que chacun a deux racines réelles distinctes et la somme de deux quelconques d’entre eux donne un trinôme qui a des racines imaginaires ?
Jean ...
Georgios se rend au marché de Corinthe avec son âne, son bardot et son mulet pour vendre N amphores de retsina. Au départ il les répartit entre a, b et m amphores sur l’âne, le bardot et le mulet, ...
La terre tourne autour du soleil selon une orbite complète qui dure 365 jours 5 heures 48 minutes et 46 secondes. Le calendrier grégorien est conçu avec des années bissextiles de 366 jours pour toutes ...
Problème proposé par Michèle Raffault A l'aide des quatre seules opérations élémentaires +, -, *, /. complétées par des parenthèses,déterminer neuf équations qui expriment 2011 à partir des chiffres ...
Trouver trois ensembles de quatre entiers naturels distincts > 1 dont la somme est égale à 2011 et dont le plus petit commun multiple (PPCM) est respectivement : 1)égal à 2730, 2)le plus petit possible, ...
On considère l’ensemble des entiers de la forme p2 – 1 avec p nombre premier ≥ 2. On choisit quatre entiers positifs n₁,n₂,n₃ et n₄. Quand p varie, les restes de la division de p2 – 1 par chacun de ...
C
A partir de quatre chiffres distincts a,b,c,d choisis parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, on écrit six entiers de la forme ,,,,et .Leur somme est égale à l’entier et le produit de deux d’entre ...
Je dispose d’une calculette qui affiche au maximum dix chiffres (par exemple : 3 487 062 139 et 0,073661932) Q1 – Je choisis 4 nombres premiers distincts a,b,c et d tous inférieurs à 100 et je calcule ...
J’ai retrouvé dans de vieilles archives des mesures faites avec une balance à colonnes dont les deux bras du fléau avaient des longueurs légérement différentes et les deux plateaux à vide n’avaient ...
Q1- On considère la somme d’un entier p à 2k + 1 chiffres et de l’entier q dont les chiffres sont ceux de p lus dans l’ordre inverse. Pour quelles valeurs de k cette somme peut-elle comporter ...
Je suis un entier naturel et j’ai 8 diviseurs y compris 1 et moi-même. Si on me retranche 174, le nombre résultant a deux fois moins de diviseurs que moi et c’est un multiple de 3. A l’inverse, ...
Ce volcan hawaïen a deux cratères qui entrent en éruption le premier toutes les 17 heures et le second toutes les 10 heures. Chaque éruption dure exactement une heure. Pour accéder à ces deux cratères ...
Déterminer tous les triplets d’entiers uniformes strictement positifs tels que dans chaque triplet le plus grand des entiers est égal à la somme du deuxième et du carré du troisième et l’un ...
Avec ces neuf entiers naturels tous distincts classés dans l’ordre croissant A < B < C ...< H < I, on dispose de trois indices seulement : 1) leur somme S est égale à ...
La puissance d’ordre k > 1 d’un nombre premier s’écrit 164351 dans une certaine base b. Déterminer b. Même question avec le nombre 531773.
Pierre Henri Palmade, Jean Moreau de Saint Martin, ...
Zig et n de ses amis (n > 1) jouent n + 1 parties de rami. Ils conviennent qu’à l’issue de chaque partie, il y a un seul perdant qui paie à chacun des autres joueurs son tapis, c’est à dire le ...
Une cigale et une fourmi partent en ligne droite à la rencontre l’une de l’autre à partir des milieux M et N des bords AD et BC d’un tapis rectangulaire ABCD en caoutchouc de longueur AB = CD = 12 ...
30.
A561. Cubes à gogo
(A. Arithmetique et algèbre/A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n)
Q1 L’entier 2014 peut-il être égal à la différence de deux nombres cubiques x3 et y3 ? Si oui, déterminer x et y. Si non, trouver l’entier le plus proche de 2014 qui peut s’exprimer comme différence ...
Cet entier n a 31 diviseurs propres* di ,pour i = 1 à 31,qui sont classés par ordre croissant .La somme des carrés des 7ième et 10ième diviseurs est égale au carré du 11ième. Déterminer n. *Nota :Un ...
Pour le concert en plein air joué par Zig à la trompe de chasse et Puce au tuba, les organisateurs ont conçu une billetterie originale. - Au guichet des adultes,les tickets ...
Pour tout k≥ 3, soit une suite de k nombres premiers distincts dont la somme vaut sk. Déterminer la borne supérieure bk du nombre de ses termes qui divisent sk. Par convention on dit qu’une suite ...
Zig vient de retrouver un court exercice d’arithmétique dans les archives poussiéreuses de diophante.fr qui s’énonçait ainsi: Trouver quatre entiers naturels positifs a,b,c et d tels que a5 = b4, c3 ...
Trouver deux couples de nombres réels (a,b) et (a’,b’) tels que : - chacune des deux équations quadratiques x² - 2ax + b = 0 et x² - 2a’x + b’ = 0 a deux racines réelles distinctes, r et r’ étant respectivement ...
Pour tout entier positif n qui admet k facteurs premiers distincts p1,p2,...,pi....pk, on calcule la somme σ des inverses de ses facteurs premiers puis le produit π de ces mêmes termes ...
Soient deux entiers positifs a et b tels que a divise b et en écrivant dans l’ordre a puis b on obtient un nombre N égal à (a + b)2. Calculer le ratio b/a et trouver le couple (a,b) qui donne la plus ...
Mon cube, mon carré et moi-même sommes « les têtes de liste » de trois progressions arithmétiques de longueurs distinctes >2, constitués d’entiers positifs, de raisons non nulles et qui ont même ...
Trouver un couple d’entiers naturels (a,b) tel que l’équation = 0 où désigne la partie entière par défaut de x, a exactement 2015 solutions.
Par odre alphabétique: Maurice Bauval,Daniel ...
A 5 heures du matin,quatre randonneurs quittent à pied l’Auberge des Quatre Chemins,le premier va plein Nord,le second plein Ouest,le troisième plein Sud et le quatrième plein Est. Leurs vitesses de ...
Trouver 2015 entiers naturels positifs consécutifs dont la somme est à la fois un carré parfait, un cube parfait et une puissance parfaite d’ordre 5.
Nos lecteurs on trouvé sans peine les 2015 entiers ...
Un entier est appelé par convention k-premier s’il est égal au produit de k nombres premiers distincts. Par exemple 2015 = 5*13*31 est 3-premier mais 18 = 2*3*3 ne l’est pas. On considère quatre entiers ...
Démontrez qu’il existe une suite unique de sept(1) nombres premiers distincts qui ont les propriétés suivantes : - leur produit est un multiple de leur somme, - le ...
Cet entier N a 2015 chiffres qui constituent une suite non décroissante de 2015 chiffres lorsqu'ils sont lus de gauche à droite et deux au moins parmi les trois derniers sont distincts. On calcule la ...
On considère la série harmonique S : 1, 1/2, 1/3, 1/4,.... ,1/n,...... Existe-t-il une progression arithmétique de 10 fractions extraites de S qui contient la fraction 1/2016? Si oui laquelle? Existe-t-il ...
désignant respectivement la valeur entière par défaut et la valeur entière par excès du nombre réel u, pour tout entier n > 0 fixé à l'avance, on détermine: 1) le plus grand entier x tel que ...
Problème proposé par Raymond Bloch On choisit quatre nombres premiers p,q,r,s avec p < q < r < s puis on garde dans la série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...les fractions < 1 dont le ...
Problème proposé par Augustin Genoud Soit une suite de n chiffres > 0 : a1, a2, a3 ...an pas nécessairement distincts entre eux. En utilisant chacun de ces chiffres une seule fois, on forme ...
On considère l'ensemble des suites décroissantes de 7 nombres premiers inférieurs à 100 pas nécessairement distincts et pour chacune d'elles on calcule la somme dans laquelle le k-ième ...
Trouver sans l'aide d'un quelconque automate le plus petit entier n > 0 tel que l'entier n² ‒ 79n + 1601 est égal au produit de quatre facteurs premiers pas nécessairement distincts.
Jean Moreau ...
On recherche le nombre k d'ensembles E1,E2,...,Ek de même cardinal dont les éléments sont des nombres entiers ≥ 0 tels que: - tout entier compris dans un intervalle I = [0,n] fixé à l'avance peut s'écrire ...
Dunabla prend un nombre de deux chiffres et fait le produit des deux chiffres, puis répète l'opération sur les chiffres du produit jusqu'à arriver à un seul chiffre. Quel nombre de départ lui ...
Problème proposé par Raymond Bloch Soit la suite S des n premiers nombres entiers consécutifs: 1,2,... n qui contient trois entiers a,b et c. Soit m la moyenne arithmétique de S. Si on retranche a ...
Zig est au pied P d'une colline dont la pente fait un angle θ avec le plan du sol (voir figure ci-après) Il dispose d'un arc qui lui permet de lancer des flèches à une vitesse de 54m/s. Il lance ...
A l'instant t = 0, un faucon, une hirondelle et un épervier pris dans cet ordre sont sur une même verticale.La distance qui sépare l'hirondelle du faucon est deux fois plus grande que celle qui la sépare ...
1ère énigme Avec les quatre opérations élémentaires +, - , * ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... ...
Des albums de photos sont rangés dans deux casiers cubiques de 35 centimètres de côté. Le casier n°1 à gauche contient un album de moins que le casier n°2. Dans chaque casier les albums sont rangés ...
On désigne par S(n) la somme des chiffres de l'entier n. Q1 Trouver l'entier n positif à 7 chiffres tel que le rapport n/S(n) est le plus petit possible. Q2 Même question avec un entier n à 2017 chiffres ...
A dix heures et demie du matin,Alice,Bernard,Caroline et Damien sont en plein milieu de la forêt de Sylvanie. Pour le déjeuner,ils décident de se rendre à l'Auberge des Matheux située au bord d'une ...
On partage l'ensemble des 12 premiers entiers en trois sous-ensembles A,B et C que l'on classe dans l'ordre décroissant selon la somme des termes, puis selon le produit des termes et enfin ...
La factorielle d'un entier x quelconque ≥ 1 est désignée par x ! = 1*2*....*(x ‒ 1)*x Q1 Déterminer sept entiers strictement positifs a,b,c,d,e,f et n qui satisfont les cinq équations: n! + a2 = b2, ...
Problème proposé par Augustin Genoud Tous les nombres ci-après sont des nombres entiers positifs qui ne commencent jamais par 0. Q1 : ab57 est un nombre de quatre chiffres divisible par 23. Quels ...
Pour un entier k donné > 1, on s'intéresse à tout ensemble Ek de k entiers naturels distincts strictement positifs dont le produit est multiple de toutes les sommes de ces mêmes entiers pris deux ...
Le logarithme en base x (nombre entier) de l'entier N est défini par logxN = log10N/log10x. Par commodité, on l'écrit sous la forme logxN = log[N]. De la même manière, a étant un nombre entier, on écrit ...
Problème proposé par Raymond Bloch On s'intéresse aux suites de nombres premiers (NP) qui forment des progressions arithmétiques (PA) croissantes de raison r qui ont les caractéristiques suivantes: ...
Trouver la plus petite fraction irréductible p/q telle que pour tout entier n > 0, le nombre n17/17 + n13/13 + n11/11 + n7/7 + n5/5 + n3/3 + n2/2 + np/q est un entier.
Par ordre alphabétique ...
Déterminer trois entiers impairs a, b et c qui ont les caractéristiques suivantes: - a < b < c < 50 000, - chacun est le produit d'un même nombre de nombres premiers distincts, - il ...
Si, pour l'entier k variant de 2 à n, la somme des restes des divisions de (k + 1)3 par k3 est égale à 999 949, que vaut, pour k variant toujours de 2 à n, Q1 la somme des restes des divisions de (k ...
Q1 Soit un nombre entier p strictement positif.On considère la suite de nombres réels dont les deux premiers termes sont u1 = π (nombre pi) et u2 = 2017 et pour n > 2 le terme général un est ...
Q1 Dix enfants ont chacun cent billes dans leur cartable et s'adonnent au jeu suivant : à chaque tour, un enfant donne une bille à chacun des neuf autres enfants. Déteminez le nombre minimal de tours ...
Problème proposé par Raymond Bloch A tout entier n > 2, on associe la suite Sn strictement décroissante définie par u0 = n, u1 = f(u0), u2 = f(u1),....uk = f(uk-1) = 2 avec f(x) désignant le nombre ...
Zig a trouvé dans l'un des quatre ouvrages "Récréations Mathématiques et Physiques publiées par feu Jacques Ozanam de l'Académie Royale des Sciences et Professeur en Mathématique, nouvelle édition ...
Problème proposé par Raymond Bloch Trouver une suite de 60 entiers distincts compris entre 1 et 2018 dont la somme est égale à leur plus petit commun multiple
Michel Lafond,Pierre Henri ...
Un clin d'oeil de Jacob Bernoulli il y a plus de trois siècles. Sachant que pour un certain entier k, + = 16 200 000 000, calculer à la main sans l'aide d'un quelconque automate ou d'une ...
Variante d'un problème proposé par Jacques Boudier Q1 L'entier 65 est la somme de deux carrés d'entiers distincts non nuls de deux manières différentes: 65 = 82 + 12 = 72 + 42. Existe-t-il des entiers ...
Zig écrit sur une même ligne un nombre entier A dont la moyenne arithmétique des 402 chiffres est égale exactement à 4,5 puis il écrit juste en dessous un deuxième nombre entier B qui a 4 chiffres de ...
Au restaurant Zig a coutume de payer l'addition (exprimée en € et centimes d'€) de deux manières:
- exclusivement avec des billets de banque (5€,10€,20€,etc...) en laissant au serveur un pourboire ...
Problème proposé par Raymond Bloch On vous présente 2017 pièces de monnaie d'apparence identique mais 36 d'entre elles sont fausses: certaines ont un gramme en plus et d'autres un gramme en moins. ...
Q1 Quand on divise cet entier m respectivement par les entiers 289,1010 et 1292, la somme des trois restes ainsi obtenus est égale à ce même entier. Que vaut m? Q2 Quand on divise cet entier n ...
Q1 Montrer que 2018 ne peut être la somme ni de 2 cubes parfaits ni de 3 cubes parfaits. Qu'en est-il de 20182 ? de 20182018 ? Q2 Montrer que 2018 comme 20182017 peuvent s'écrire comme la somme ...
Problème proposé par Raymond Bloch L'aire d'un champ rectangulaire exprimée en m2 est un entier de 5 chiffres distincts dont les deux chiffres extrêmes lus de gauche à droite donnent sa largeur ...
Trouver un entier n, si possible le plus petit, tel qu'il y a exactement 2019 diviseurs de n2 qui font bande à part car ils sont strictement inférieurs à n et ne sont pas diviseurs de n.
David Draï,Claude ...
Puce dispose d'une très importante collection de plaques en laiton nickelé et chacune d'elles pèse un nombre entier k de grammes avec k prenant toutes les valeurs de 1 à 200 grammes. Démontrer ...
Un premier trio est constitué de trois nombres premiers distincts choisis parmi les cinquante nombres premiers ≤ 229, dont la somme s1, la somme de leurs carrés k1 et la somme de leurs cubes q1 sont ...
L'inverse de la somme de dix nombres réels > 0 et la somme des inverses de ces mêmes nombres sont dans le rapport de 1 à 100. En déduire le rapport de la puissance cinq de la somme de leurs carrés ...
Soit un entier n strictement positif.
Pour le paramètre k prenant successivement les valeurs k = 2, k = 3 et k = 2.5, déterminer en fonction de n quel est le plus grand des deux termes:
− ...
Problème proposé par Raymond Bloch Q1 Trois entiers positifs ont pour somme 100. Quelle est la plus petite valeur possible de leur PPCM (plus petit commun multiple) ? a) les trois entiers ne sont pas ...
Déterminer la somme des solutions de l'équation en x : }}}} = x où représente la partie décimale du nombre réel x [par exemple = 0.19 et = 0.81].
Jean Moreau de Saint Martin,Claude Felloneau,Thérèse ...
Douze mathématiciens sont assis sur des fauteuils numérotés de 1 à 12 autour d'une table circulaire. Zig attribue à chacun d'eux un nombre entier strictement positif distinct des autres.Chaque ...
Quatre étudiants Alice, Bernard, Charles et Delphine passent une série de tests choisis parmi neuf branches : arithmétique, algèbre, analyse, géométrie, probabilités,etc....Pour chacun des tests les ...
Problème proposé par Raymond Bloch Soit k un entier strictement positif. On désigne par τ(k) le nombre de diviseurs de cet entier,y compris 1 et lui-même et par T(n) = la somme cumulée ...
On considère le nombre
Montrer que A = 4.
Problème proposé par Xavier Pin, paru dans La Jaune et la Rouge d'avril 2019
solution ...
Problème proposé par Michel Lafond Déterminer tous les entiers positifs tels qu’en permutant le premier chiffre de gauche avec le dernier chiffre de droite, le nombre résultant affiche une baisse égale ...
Exercices proposés par Raymond Bloch E1 Zig demande à Puce de trouver toutes les suites de six entiers consécutifs > 0 tels que le produit de deux d’entre eux augmenté du produit de deux autres ...
Mis au goût du jour, voici quatre devoirs de vacances extraits du recueil de problèmes mathématiques "Propositiones ad acuendos juvenes" d'Albinus Flaccus Alcuin (735 – 804), précepteur de Charlemagne, ...
Problème proposé par Raymond Bloch Q1 On considère la suite S1 des puissances de 2 : 1, 2, 4, 8, 16, 32,…. Déterminer le plus grand entier k tel qu’il existe au moins un terme de S1 qui se termine par ...
Problème proposé par Michel Lafond Dans un pays, la monnaie est composée uniquement d’une pièce de 5 unités et d’un billet de B unités. On peut payer toutes les sommes à partir de 100 unités, mais ...
Problème proposé par Bernard Vignes Déterminer les coefficients entiers d’une équation du second degré ax² + bx + c = 0 dont les racines permettent de calculer rapidement deux entiers positifs N et ...
Problème proposé par Raymond Bloch Un entier k strictement supérieur à 1 est appelé amplificateur d’ordre n ≥ 2 s'il existe n entiers positifs a1,a2,..,an pas nécessairement distincts tels que ...
Déterminer tous les quadruplets (a,b,c,d) de nombres réels qui satisfont le système suivant de quatre équations : ab + c + d = 10, bc + d + a = 11, cd + a + b = 11 et da + b + c = 19
Nos 23 ...
Moyen ***
